BZOJ 2742: [HEOI2012]Akai的数学作业

2742: [HEOI2012]Akai的数学作业

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Description

这里是广袤无垠的宇宙这里是一泻千里的银河

这里是独一无二的太阳系

这里是蔚蓝色的地球

这里，就是这里，是富饶的中国大陆！

这里是神奇的河北大地

这里是美丽的唐山

这里是神话般的唐山一中

这里是Akai曾经的教室

黑板上还留有当年Akai做过的数学作业，其实也并不是什么很困难的题目:

 

给出一个一元n次方程：

a0 + a1x + a    2   x2 +…+ anxn= 0

求此方程的所有有理数解。

 

Akai至今还深刻记得当年熬夜奋战求解的时光

他甚至还能记得浪费了多少草稿纸

但是却怎么也想不起来最后的答案是多少了

你能帮助他么？

Input

第一行一个整数n。第二行n+1个整数，分别代表a    0 到a n

Output

第一行输出一个整数t，表示有理数解的个数

接下来t行，每行表示一个解

解以分数的形式输出，要求分子和分母互质，且分母必须是正整数特殊的，如果这个解是一个整数，那么直接把这个数输出

等价的解只需要输出一次

所有解按照从小到大的顺序输出

Sample Input

3
-24 14 29 6

Sample Output

3
-4
-3/2
2/3

HINT

【数据范围】

对于30%的数据，n<=10

对于100%的数据，n <= 100，|a i| <= 2*10^7，an≠ 0

Source

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好神的一道HEOI题。

据LH讲，有个定理叫做多项式高斯引理什么的，大概就是讲，复数域下的一个关于$x$的$n$次多项式$f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+...+a_{n}x^{n}$一定可以分解成$n$个含$x$的一次多项式相乘，即$f(x)$一定存在一种形如$f(x)=\prod{(b_{i}x+c_{i})}$的表示，其中每个式子都会产生一个复数域下的根（当然，这些根有可能重复）。这道题叫我们只用考虑有理数根，所以可以把式子改写为$f(x)=g(x)*\prod{(b_{i}x+c_{i})}$的样子，其中g(x)是一个关于$x$的多项式，包含了所有的非有理数根，剩下的部分就表示了所有的有理数根。发现每个有理数根都能表示成$x_{i}=\frac{c_{i}}{b_{i}}$，然后不难发现$f(x)=\sum_{i=0}^{n}{a_{i}x^{i}}$中的$a_{0}$包含了所有的$c_{i}$，而$a_{n}$包含了有所的$b_{i}$，所以对于所有的合法有理数根$x_{i}=\frac{c_{i}}{b_{i}}$，$c_{i}$一定是$a_{0}$的约数，$b_{i}$一定是$a_{n}$的约数。所以可以先处理出$a_{0}$和$a_{n}$的所有约数，然后暴力枚举$b_{i}$和$c_{i}$，$O(N)$check是否合法即可。check的方式是，对于$x=\frac{p}{q}$，$f(x)=\sum_{i=0}^{n}{a_{i}p^{i}q^{n-i}}$，在模意义下检查是否为$0$即可。

 #include <bits/stdc++.h>

 template <class T>
 T gcd(T a, T b)
 {
     return b ? gcd(b, a % b) : a;
 }

 typedef long long lnt;

 const int mxn = ;
 const int mxm = ;
 const lnt mod = ;

 int n, s[mxn];

 struct number
 {
     int a, b, f;    // ans = a / b

     number(void) {};
     number(int x, int y, int g = )
         : a(x), b(y), f(g) {};

     void print(void)
     {
         if (f == -)
             putchar('-');
         if (a % b)
             printf("%d/%d\n", a, b);
         else
             printf("%d\n", a / b);
     }
 }ans[mxm]; int tot;

 bool cmp(const number &A, const number &B)
 {
     if (A.f == - && B.f == +)
         return true;
     if (A.f == + && B.f == -)
         return false;
     if (A.f == + && B.f == +)
         return 1LL * A.a * B.b < 1LL * B.a * A.b;
     if (A.f == - && B.f == -)
         return 1LL * A.a * B.b > 1LL * B.a * A.b;
 }

 void leadingZeros(void)
 {
     int cnt = ;

     while (!s[cnt])
         ++cnt;

     if (cnt)
     {
         n = n - cnt;

         for (int i = ; i <= n; ++i)
             s[i] = s[i + cnt];

         ans[tot++] = number(, );
     }
 }

 int divA[mxm], sizA;
 int divB[mxm], sizB;

 void divide(int x, int *div, int &siz)
 {
     if (x < )x = -x;

     siz = ;

     int t = int(sqrt(x));

     for (int i = ; i <= t; ++i)
         if (x % i == )
         {
             div[siz++] = i;
             div[siz++] = x / i;
         }

     if (t * t == x)--siz;
 }

 int powA[mxn];
 int powB[mxn];

 void check(lnt a, lnt b, lnt f)
 {
     powA[] = powB[] = 1LL;

     for (int i = ; i <= n; ++i)
     {
         powA[i] = (powA[i - ] * a) % mod;
         powB[i] = (powB[i - ] * b) % mod;
     }

     lnt sum = , tmp;

     for (int i = ; i <= n; ++i)
     {
         tmp = s[i];
         tmp = (tmp * powA[i]) % mod;
         tmp = (tmp * powB[n - i]) % mod;

         if (i & )tmp = (tmp * f + mod) % mod;

         sum = (sum + tmp) % mod;
     }

     if (sum == )ans[tot++] = number(a, b, f);
 }

 signed main(void)
 {
     scanf("%d", &n);

     for (int i = ; i <= n; ++i)
         scanf("%d", s + i);

     leadingZeros();

     divide(s[], divA, sizA);
     divide(s[n], divB, sizB);

     for (int i = ; i < sizA; ++i)
         for (int j = ; j < sizB; ++j)
         {
             int a = divA[i];
             int b = divB[j];

             if (gcd(a, b) == )
             {
                 check(a, b, +);
                 check(a, b, -);
             }
         }

     std::sort(ans, ans + tot, cmp);

     printf("%d\n", tot);

     for (int i = ; i < tot; ++i)
         ans[i].print();
 }

@Author: YouSiki