70. Climbing Stairs【leetcode】递归，动态规划，java，算法

You are climbing a stair case. It takes n steps to reach to the top.

Each time you can either climb 1 or 2 steps. In how many distinct ways can you climb to the top?

Note: Given n will be a positive integer.

题目分析：每次只能走1或2步，问n步的话有多少中走法？？？？

可以用动态规划和递归解决，提交代码过程中可能会出现n过大时，时间超时的提示，这个时候我们就要考虑时间复杂度了。

预备知识：递归和动态规划和分治法都有什么关系？

1. 动态规划实现:时间和空间复杂度都是最大O(n)，代码和运行时间如下图

public class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
         if (n == 1) {
            return 1;
        }
        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        }
        return dp[n];
    }
}      

Fibonacci Number算法 时间为O(n)空间为O(1)

public class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        if(n==1){
            return 1;
        }
        int first=1;
        int second=2;
        for(int i=3;i<=n;i++){
            //f(3)=f(2)+f(1);
            //f(4)=(f3)+f(2);

            int third =0;
            third=first+second;
            first=second;
            second =third;
        }
        return second;
    }

}

这里给出运行时间

递归法实现()

public class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        int mem[] =new int[n+1];
        return climb(0,n,mem);
    }
    public int climb(int i,int n,int mem []){

        if(i>n){
            return 0;
        }
        if(i==n){
            return 1;
        }
        if(mem[i]>0){
            return mem[i];
        }
        mem[i]=climb(i+1,n,mem)+climb(i+2,n,mem);
        return mem[i];
    }
}

1、分治策略（Divide and Conquer）

将原问题分解为若干个规模较小但类似于原问题的子问题（Divide），递归的求解这些子问题（Conquer），然后再合并这些子问题的解来建立原问题的解。因为在求解大问题时，需要递归的求小问题，因此一般用递归的方法实现，即自顶向下。

2、动态规划（Dynamic Programming）

动态规划其实和分治策略是类似的，也是将一个原问题分解为若干个规模较小的子问题，递归的求解这些子问题，然后合并子问题的解得到原问题的解。区别在于这些子问题会有重叠，一个子问题在求解后，可能会再次求解，于是我们想到将这些子问题的解存储起来，当下次再次求解这个子问题时，直接拿过来就是。其实就是说，动态规划所解决的问题是分治策略所解决问题的一个子集，只是这个子集更适合用动态规划来解决从而得到更小的运行时间。即用动态规划能解决的问题分治策略肯定能解决，只是运行时间长了。因此，分治策略一般用来解决子问题相互对立的问题，称为标准分治，而动态规划用来解决子问题重叠的问题。

动态规划一般由两种方法来实现，一种为自顶向下的备忘录方式，用递归实现，一种为自底向上的方式，用迭代实现。

3、贪心算法（Greedy Algorithm）

贪心算法在每一步都做出最优的选择，希望这样的选择能导致全局最优解。对，只是寄希望，因此贪心算法并不保证得到最优解，但是它对很多问题确实可以得到最优解，而且运行时间更短。由此可见，贪心算法是带有启发性质的算法。那什么时候可以用贪心算法呢？当该问题具有贪心选择性质的时候，我们就可以用贪心算法来解决该问题。 
贪心选择性质：我们可以通过做出局部最优（贪心）来构造全局最优。只要我们能够证明该问题具有贪心选择性质，就可以用贪心算法对其求解。比如对于0-1背包问题，我们用贪心算法可能得不到最优解（当然，也可能会得到最优解），但对于部分背包问题，则可以得到最优解，贪心算法可以作为0-1背包问题的一个近似算法。

动态规划与递归的比较

就性能而言，我用递归和动态规划实现了斐波纳契数列计算，递归如果超过40的时候就已经需要很长时间了，40次大概需要1秒左右，但是用动态规划要一亿次，才需要4秒，这个相差的可不是几个数量级的问题。事实上，递归实现的斐波那契数列计算时间复杂度为O(2ⁿ),动态规划实现时间复杂度为O(n)所以，在以后的开发中，尽量避免使用递归。 
就具体实现上而言，动态规划比普通递归仅仅是多了一步保存子问题计算结果的操作。 
例如，斐波那契数列的递归实现如下：

 int F(int i)
    {
             if(i < 1)  return 0;
             if(i == 1) return 1;
              return F(i-1) + F(i - 2);
    }

• 而用动态规划算法实现是这样：

 int F(int i)
{
     if(knownF[i] != unknown){
        return knownF[i];
     }
     if(i == 0) t = 0;
     if(i == 1) t = 1;
     if(i > 1)  t = F(i - 1) + F(i - 2);
     return knownF[i] = t;
}

4、总结

1. 分治策略用于解决原问题与子问题结构相似的问题，对于各子问题相互独立的情况，一般用递归实现；
2. 动态规划用于解决子问题有重复求解的情况，既可以用递归实现，也可以用迭代实现；
3. 贪心算法用于解决具有贪心选择性质的一类问题，既可以用递归实现，也可以用迭代实现，因为很多递归贪心算法都是尾递归，很容易改成迭代贪心算法；
4. 递归是实现手段，分治策略是解决问题的思想，动态规划很多时候会使用记录子问题运算结果的递归实现。

参考资料： 
1.http://1661518.blog.51cto.com/1651518/1396943 
2.《算法导论》第三版

3.http://blog.csdn.net/tyhj_sf/article/details/53969072