Dirac Delta Function

也称为Degenerate pdf, 退化概率密度函数. 未经考证的解释是: 当正态分布的\(\sigma \to 0\)时, 正态分布就退化为这个分布了.

---

定义

\[
\delta(x) =
\begin{cases}
0, x \neq 0 \\
\infty, x = 0
\end{cases}
\]

因为是由正态分布退化而来的概率密度函数:

\[
\int _{-\infty}^{+\infty} \delta(x) dx = 1
\]

(不知道如何严格的证明)

Sifting Property

(TODO, 译为筛选性质?)

\[
\int _{-\infty}^{+\infty} f(x)\delta(x - \mu) dx = f(\mu)
\]

证明如下:

令\(t = x - \mu, x = t + \mu\), 得:

\[
\int _{-\infty}^{+\infty} f(x)\delta(x - \mu) dx = \int _{-\infty}^{+\infty} f(t + \mu)\delta(t) dt = \int _{-\epsilon}^{+\epsilon} f(t + \mu)\delta(t) dt = f(\mu)\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)dt = f(\mu)
\]

其中, \(\epsilon \to^+ 0\). 看来, \(f(x)\)还得在\((-\epsilon, +\epsilon)\)邻域内连续.