【bzoj3625】【xsy1729】小朋友和二叉树

【bzoj3625】小朋友与二叉树

题意

我们的小朋友很喜欢计算机科学，而且尤其喜欢二叉树。

考虑一个含有n个互异正整数的序列c[1],c[2],...,c[n]。如果一棵带点权的有根二叉树满足其所有顶点的权值都在集合{c[1],c[2],...,c[n]}中，我们的小朋友就会将其称作神犇的。并且他认为，一棵带点权的树的权值，是其所有顶点权值的总和。

给出一个整数m，你能对于任意的s(1<=s<=m)计算出权值为s的神犇二叉树的个数吗？请参照样例以更好的理解什么样的两棵二叉树会被视为不同的。

我们只需要知道答案关于998244353(7172^23+1,一个质数)取模后的值。

\(1\leq n,m\leq 10^5\)

\(1\leq c[i]\leq 10^5\)

分析

真的是一道毒瘤题...

虽然很有意思。

我们对于数列\(c[1],c[2],...,c[n]\)，设\(vis[i]=\sum_{j=1^n}[i=c[j]]\)，即\(vis[i]\)表示\(c[j]=i\)的个数。

记\(vis[0],vis[1],vis[2],...,vis[n]\)生成函数为\(C=\sum_{i=0}^{infty}vis[i]x^i\)

设\(f[s]\)表示权值为\(s\)的神犇二叉树的个数。

则根据题意，我们要求\(f[0],f[1],...,f[n],...\)。

①奠基：当\(s=0\)时，\(f[s]=1\)

②转移：当\(s>0\)时，

\(f[s]=\sum_{i,j}c[i]*f[j]*f[s-i-j]\)

记\(f[0],f[1],...,f[n]\)的生成函数为\(F=\sum_{i=0}^{\infty}\)

我们只需要求出\(F\)即可。

把\(f\)的转移等式代入\(F\)，则有

\(F=C*F*F+1\)

\(\therefore CF^2-F+1=0\)

根据求根公式，有\(F={1\pm \sqrt{1-4C}\over 2C}\)

对于下面的\(2C\)，我们打算对\(F={1\pm \sqrt{1-4C}\over 2C}\)两边同时关于\(x^n\)取模，且只要等式两边小于\(x^n\)，就可以直接等价。

这样的\(n\)是很容易找到的，使得：\(F={1\pm \sqrt{1-4C}\over 2C}\Leftrightarrow F\equiv {1\pm \sqrt{1-4C}\over 2C}(\mod x^n)\)

然后求\(2C\)的逆元即可把分母去掉。

首先要满足\(2C\)有逆元，而多项式有逆元的充要条件就是它的常数项有逆元。

而C的常数项为0，所以没有逆元。

所以分母的常数项必须也为零，才能把一个x消掉得到常数项。

因为$ \sqrt{1+4C}$的常数项为1，之前用1加上，所以必须为-号。

所以转化为：\(F\equiv {1-\sqrt{1-4C}\over 2C}\)

等式右边的分子分母同时乘上\(1+\sqrt{1-4C}\)，得到：

\(F\equiv {4C\over 2C(1+\sqrt {1-4C})}={2\over 1+\sqrt{1+4C}}\)

现在需要解决两个问题即可：①多项式求逆 ②多项式开根

【多项式求逆】

一篇很好的讲解：http://blog.miskcoo.com/2015/05/polynomial-inverse

问题描述：已知\(A(x)\)，求\(B(x)\)，使得设\(A(x)B(x)\equiv 1(\mod x^n)\)

解决方案：

①当\(n=1\)时，设\(A(x)=c\)，那么只有求出\(B(x)=inv(c)(\mod x^n)\)即可。

②当\(n>1\)时，设\(A(x)B'(x)\equiv 1(\mod x^{\lceil{n\over 2}\rceil})\)，现在要求\(B(x)\)。

\(\because A(x)B(x)\equiv 1(\mod x^n)\)

\(\therefore A(x)B(x)\equiv 1(\mod x^{\lceil{n\over 2}\rceil})\)

\(\therefore B(x)-B'(x)\equiv 0(\mod x^{\lceil{n\over 2}\rceil})\)

\(\therefore B^2(x)-2BB'(x)+B'^2(x)\equiv 0(\mod x^n)\)

两边同时乘上\(A(x)\)，\(\therefore B(x)-2B'(x)+AB'(x)\equiv 0(\mod x^n)\)

\(\therefore B(x)=2B'(x)-AB'^2(X)\)

复杂度分析：\(T(n)=T(n/2)+O(n\log n)=O(n\log n)\)

【多项式开根】

一篇很好的讲解：http://blog.csdn.net/wzq_qwq/article/details/48394749

问题描述：已知\(A(x)\)，求\(H(x)\)，使得\(H^2(x)\equiv A(x)(\mod x^n)\)

解决方案：

①当\(n=1\)时，直接求逆元

②当\(n>1\)时，设\(G(x)\)，使得\(G^2(x)\equiv A(x)(\mod x^{\lceil{n\over 2}\rceil})\)

\(\therefore G^2(x)-A(x)\equiv 0(\mod x^{\lceil{n\over 2}\rceil})\)

\(\therefore (G^2(x)-A(x))^2\equiv 0(\mod x^n)\)

\(\therefore (G^2(x)+A(x))^2\equiv 4G^2(x)A(x)(\mod x^n)\)

\(\therefore ({G^2(x)+A(x)\over 2G(x)})^2=A(x)(\mod x^n)\)

\(\therefore H(x)\equiv {G(x)\over 2}+{A(x)\over 2G(x)}(\mod x^n)\)