bzoj 3672: [Noi2014]购票

Description

今年夏天，NOI在SZ市迎来了她30周岁的生日。来自全国 n 个城市的OIer们都会从各地出发，到SZ市参加这次盛会。

全国的城市构成了一棵以SZ市为根的有根树，每个城市与它的父亲用道路连接。为了方便起见，我们将全国的 n 个城市用 1 到 n 的整数编号。其中SZ市的编号为 1。对于除SZ市之外的任意一个城市 v，我们给出了它在这棵树上的父亲城市 fv 以及到父亲城市道路的长度 sv。

从城市 v 前往SZ市的方法为：选择城市 v 的一个祖先 a，支付购票的费用，乘坐交通工具到达 a。再选择城市 a 的一个祖先 b，支付费用并到达 b。以此类推，直至到达SZ市。

对于任意一个城市 v，我们会给出一个交通工具的距离限制 lv。对于城市 v 的祖先 a，只有当它们之间所有道路的总长度不超过 lv 时，从城市 v 才可以通过一次购票到达城市 a，否则不能通过一次购票到达。对于每个城市 v，我们还会给出两个非负整数 pv,qv 作为票价参数。若城市 v 到城市 a 所有道路的总长度为 d，那么从城市 v 到城市 a 购买的票价为 dpv+qv。

每个城市的OIer都希望自己到达SZ市时，用于购票的总资金最少。你的任务就是，告诉每个城市的OIer他们所花的最少资金是多少。

Solution

这题坑死我了

正解：斜率优化DP

容易推出 \(f[i]=f[v]+(dis[i]-dis[v])*p[i]+q[i]\) \(v\)为某个祖先

化成斜率优化的形式：\(f[v]=dis[v]*p[i]+f[i]-q[i]-dis[i]*p[i]\)

所以相当于使用 \(k=p[i],b=f[i]-q[i]+dis[i]*p[i]\) 的直线去割若干个点 \((dis[v],f[v])\)

因为转移是在父子之间的，所以可以分治.

1.首先递归父亲所在块

2.用父亲所在的块更新所有儿子所在的块

3.递归处理所有的儿子

更新的方式大致是：

儿子按 \(dis[i]-l[i]\) 排序，把符合要求的点加入，维护凸包(然而大佬们都是半平面交)，三分合适的斜率.

口胡完了，实现也比较简单

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=200005;
int TT,head[N],num=0,nxt[N<<1],to[N<<1];ll c[N<<1];
ll dis[N],p[N],q[N],lim[N],inf;int n,fa[N];bool vis[N];
inline void link(int x,int y,ll z){
	nxt[++num]=head[x];to[num]=y;c[num]=z;head[x]=num;
}
int sz[N],son[N]={N},sum,rt;
inline void getroot(int x,int last){
	sz[x]=1;son[x]=0;
	for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
		int u=to[i];
		if(vis[u] || u==last)continue;
		getroot(u,x);
		sz[x]+=sz[u];son[x]=max(son[x],sz[u]);
	}
	son[x]=max(son[x],sum-sz[x]);
	if(son[x]<son[rt])rt=x;
}
inline void priwork(int x,int last){
	for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
		int u=to[i];
		if(u==last)continue;
		dis[u]=dis[x]+c[i];fa[u]=x;
		priwork(u,x);
	}
}
int Q[N],cnt=0,pre[N],a[N],tot=0,st[N];ll f[N];
inline void bfs(int S){
   int t=0;cnt=0;
	Q[++cnt]=S;pre[S]=fa[S];
	while(t!=cnt){
		int x=Q[++t];
		for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
			if(to[i]==pre[x] || vis[to[i]])continue;
			Q[++cnt]=to[i];pre[to[i]]=x;
		}
	}
	for(int i=1;i<=cnt;i++)pre[Q[i]]=0;
}
inline void dfs(int x,int root){
	if(!x)return ;
   a[++tot]=x;
	if(x==root)return ;
	if(fa[x])dfs(fa[x],root);
}
inline bool comp(int i,int j){
	if(dis[i]!=dis[j])return dis[i]>dis[j];
	return f[i]<f[j];
}
inline bool compdis(int i,int j){
   return dis[i]-lim[i]>dis[j]-lim[j];
}
inline void calc(int x,int root){
	bfs(x);
	tot=0;dfs(fa[x],root);
	sort(a+1,a+tot+1,comp);
	sort(Q+1,Q+cnt+1,compdis);
	int top=0,r=1;
	for(int i=1;i<=cnt;i++){
		int x=Q[i];
		while(r<=tot && dis[x]-lim[x]<=dis[a[r]]){
			while(top>=2 &&
	(f[a[r]]-f[st[top]])/(dis[a[r]]-dis[st[top]])>
	(f[st[top]]-f[st[top-1]])/(dis[st[top]]-dis[st[top-1]]))top--;
			st[++top]=a[r++];
		}
		int L=1,R=top,mid,ret=top,ml,mr;
		while(L<=R){
			mid=(L+R)>>1;
			ml=(L+mid)>>1;mr=(mid+1+R)>>1;
	if(f[st[ml]]-dis[st[ml]]*p[x]<=f[st[mr]]-dis[st[mr]]*p[x])ret=ml,R=mr-1;
			else ret=mr,L=ml+1;
		}
	f[x]=min(f[x],f[st[ret]]+(dis[x]-dis[st[ret]])*p[x]+q[x]);
	}
}
inline void solve(int x,int root){
	vis[x]=1;
	if(fa[x] && !vis[fa[x]])
		rt=0,sum=sz[fa[x]],getroot(fa[x],x),solve(rt,root);
	calc(x,root);
	for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
		if(vis[to[i]] || to[i]==fa[x])continue;
		rt=0;sum=sz[to[i]];getroot(to[i],x);solve(rt,x);
	}
}
void work()
{
	int x;ll y;
	scanf("%d%d",&n,&TT);
	for(int i=2;i<=n;i++){
		scanf("%d%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&p[i],&q[i],&lim[i]);
		link(x,i,y);link(i,x,y);
	}
	memset(f,127/3,sizeof(f));f[1]=0;inf=f[0];
	priwork(1,1);getroot(1,1);
	solve(1,1);
	for(int i=2;i<=n;i++)printf("%lld\n",f[i]);
}
int main()
{
	freopen("pp.in","r",stdin);
	freopen("pp.out","w",stdout);
	work();
	return 0;
}