zoj 1081 (改进的弧长算法)（转）

看到网上除了射线法，很长一段代码之外，看到了一个很简单的算法解决这个问题，特意转了过来

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 这个算法是源自《计算机图形学基础教程》（孙家广，清华大学出版社），在该书
的48-49页，名字可称为"改进的弧长法"。该算法只需O(1)的附加空间，时间复杂度为O
(n)，但系数很小；最大的优点是具有很高的精度，只需做乘法和减法，若针对整数坐标则
完全没有精度问题。而且实现起来也非常简单，比转角法和射线法都要好写且不易出错。 

      首先从该收中摘抄一段弧长法的介绍："弧长法要求多边形是有向多边形，一般规
定沿多边形的正向，边的左侧为多边形的内侧域。以被测点为圆心作单位圆，将全部有向
边向单位圆作径向投影，并计算其中单位圆上弧长的代数和。若代数和为0，则点在多边形
外部；若代数和为2π则点在多边形内部；若代数和为π，则点在多边形上。" 

      按书上的这个介绍，其实弧长法就是转角法。但它的改进方法比较厉害：将坐标原
点平移到被测点P，这个新坐标系将平面划分为4个象限，对每个多边形顶点P，只考虑
其所在的象限，然后按邻接顺序访问多边形的各个顶点P，分析P和P[i+1]，有下列
三种情况：
    （1）P[i+1]在P的下一象限。此时弧长和加π/2；
    （2）P[i+1]在P的上一象限。此时弧长和减π/2；
    （3）P[i+1]在Pi的相对象限。首先计算f=y[i+1]*x-x[i+1]*y（叉积），若f=
0，则点在多边形上；若f<0，弧长和减π；若f>0，弧长和加π。 

      最后对算出的代数和和上述的情况一样判断即可。 

      实现的时候还有两点要注意，第一个是若P的某个坐标为0时，一律当正号处理；
第二点是若被测点和多边形的顶点重合时要特殊处理。     

      以上就是书上讲解的内容，其实还存在一个问题。那就是当多边形的某条边在坐标
轴上而且两个顶点分别在原点的两侧时会出错。如边(3,0)-(-3,0)，按以上的处理，象限
分别是第一和第二，这样会使代数和加π/2，有可能导致最后结果是被测点在多边形外。
而实际上被测点是在多边形上（该边穿过该点）。
      对于这点，我的处理办法是：每次算P和P[i+1]时，就计算叉积和点积，判断该
点是否在该边上，是则判断结束，否则继续上述过程。这样牺牲了时间，但保证了正确性
。
      具体实现的时候，由于只需知道当前点和上一点的象限位置，所以附加空间只需O(
1)。实现的时候可以把上述的"π/2"改成1，"π"改成2，这样便可以完全使用整数进
行计算。不必考虑顶点的顺序，逆时针和顺时针都可以处理，只是最后的代数和符号不同
而已。整个算法编写起来非常容易。 

*/
#include <stdio.h>
#include <math.h>
const int MAX =  ;
struct point
{
    int x , y ;
} p[MAX] ;
int main()
{
    int n , m , i , sum , t1 , t2 , f , prob =  ;
    point t ;
    while (scanf("%d",&n),n)
    {
        if(prob ++)
            printf ("\n");
          printf ("Problem %d:\n",prob) ;
        scanf ("%d" ,&m) ;
        for (i = ; i < n;i++)
            scanf ("%d%d",&p[i].x,&p[i].y) ;
        p[n] = p[] ;
        while(m--)
        {
                scanf ("%d%d",&t.x,&t.y);
                for (i=;i<=n;i++)
                    p[i].x -=t.x,p[i].y -= t.y ;                                        // 坐标平移，将被测点设置为坐标原点
                t1 = p[].x>= ? ( p[].y>=?: ) : ( p[].y>=?: ) ;                 // 计算象限
                for (sum = ,i =;i <= n;i ++ )
                {
                    if ( !p[i].x && !p[i].y ) break ;                                     // 被测点为多边形顶点
                       f = p[i].y * p[i-].x - p[i].x * p[i-].y ;                         // 计算叉积
                    if ( !f && p[i-].x*p[i].x <=  && p[i-].y*p[i].y <=  ) break ;   // 点在边上
                    t2 = p[i].x>=  ? ( p[i].y>= ?: ) : ( p[i].y>=?: ) ;             // 计算象限
                    if ( t2 == ( t1 +  ) %  )      sum +=  ;                          // 情况1
                    else if ( t2 == ( t1 +  ) %  ) sum -=  ;                          // 情况2
                    else if ( t2 == ( t1 +  ) %  )                                     // 情况3
                          if ( f >  )                sum +=  ;
                          else                          sum -=  ;
                    t1 = t2 ;
                }
                if ( i<=n || sum ) printf( "Within\n" ) ;
                else               printf( "Outside\n" ) ;
                for ( i =  ; i <= n ; i ++ )
                    p[i].x += t.x , p[i].y += t.y ;             // 恢复坐标
        }
    }
        return ;
}