[HNOI2009]【一本通提高组合数学】有趣的数列

[HNOI2009]有趣的数列

题目描述

我们称一个长度为

2

n

2n

2n 的数列是有趣的，当且仅当该数列满足以下三个条件：

• 它是从

  1

  ∼

  2

  n

  1 \sim 2n

  1∼2n 共

  2

  n

  2n

  2n 个整数的一个排列

  {

  a

  n

  }

  n

  =

  1

  2

  n

  \{a_n\}_{n=1}^{2n}

  {an​}n=12n​；

• 所有的奇数项满足

  a

  1

  <

  a

  3

  <

  ⋯

  <

  a

  2

  n

  −

  1

  a_1<a_3< \dots < a_{2n-1}

  a1​<a3​<⋯<a2n−1​，所有的偶数项满足

  a

  2

  <

  a

  4

  <

  ⋯

  <

  a

  2

  n

  a_2<a_4< \dots <a_{2n}

  a2​<a4​<⋯<a2n​；

• 任意相邻的两项

  a

  2

  i

  −

  1

  a_{2i-1}

  a2i−1​ 与

  a

  2

  i

  a_{2i}

  a2i​ 满足：

  a

  2

  i

  −

  1

  <

  a

  2

  i

  a_{2i-1}<a_{2i}

  a2i−1​<a2i​。

对于给定的

n

n

n，请求出有多少个不同的长度为

2

n

2n

2n 的有趣的数列。
因为最后的答案可能很大，所以只要求输出答案对

p

p

p 取模。

输入格式

一行两个正整数

n

,

p

n,p

n,p

输出格式

输出一行一个整数表示答案。

输入输出样例

样例输入1

3 10

样例输出1

5

说明/提示

【数据范围】
对于

50

%

50\%

50% 的数据，

1

≤

n

≤

1000

1\le n \le 1000

1≤n≤1000；
对于

100

%

100\%

100% 的数据，

1

≤

n

≤

1

0

6

1\le n \le 10^6

1≤n≤106，

1

≤

p

≤

1

0

9

1\le p \le 10^9

1≤p≤109。

【样例解释】
对应的5个有趣的数列分别为（1,2,3,4,5,6），（1,2,3,5,4,6），（1,3,2,4,5,6），（1,3,2,5,4,6），（1,4,2,5,3,6）。

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
LL n, p, ans = 1, k;
int vis[2000005];

LL qmi(LL a, LL b, LL p)
{
	LL res = 1;
	while (b)
	{
		if (b & 1)
			res = res * a % p;
		a = a * a % p;
		b >>= 1;
	}
	return res;
}

void c(LL x, LL p, LL f)
{
	while (x)
		k += f * x / p, x /= p;
}

int main()
{
	cin >> n >> p;
	for (LL i(2); i <= 2 * n; ++i)
	{
		if (vis[i])
			continue;
		k = 0;
		c(2 * n, i, 1);
		c(n + 1, i, -1);
		c(n, i, -1);
		ans = ans * qmi(i, k, p) % p;
		for (LL j(2 * i); j <= 2 * n; j += i)
			vis[j] = 1;
	}
	cout << ans;
	return 0;
}

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