[物理学与PDEs]第1章第7节 媒质中的 Maxwell 方程组 7.1 媒质中的 Maxwell 方程组

1.媒质的极化

(1) 束缚电荷: 被束缚在原来位置上的电荷.

(2) 在电磁场中, 束缚电荷会有一微小的运动, 而产生电偶极矩. 此即称为媒质的极化.

(3) 设电极化强度 (单位体积的电偶极矩) 为 ${\bf P}$, 则 $$\bex \rho'=-\Div {\bf P}, \eex$$ 其中 $\rho'$ 为束缚电荷体密度. 再由 Gauss 定理, $$\bex \Div{\bf E}=\cfrac{1}{\ve_0}(\rho_f+\rho'), \eex$$ 其中 $\rho_f$ 为自由电荷体密度. 于是 $$\bex \Div{\bf D}=\rho_f,\quad {\bf D}=\ve_0{\bf E}+{\bf P}. \eex$$ 称 ${\bf D}$ 为电通密度或电位移向量.

(4) 当 $E$ 小, 媒质各向同性时, $$\bex {\bf P}=\chi_e{\bf E},\quad {\bf D}=\ve{\bf E}, \eex$$ 其中 $\chi_e$ 为电极化率, $\ve=\ve_0\ve_r$ 为介电常数, $\ve_r=1+\chi_e$ 为相对介电常数.

2. 媒质的磁化

(1) 分子电流: 电子绕原子运动 $+$ 电子自旋.

(2) 在磁场作用下, 分子电流会出现一定程度的规则排列. 此即称为媒质的磁化.

(3) 设磁化强度 (单位体积的磁偶极矩) 为 ${\bf M}$, 则 $$\bex \rot{\bf M}={\bf j}', \eex$$ 其中 ${\bf j}'$ 为磁化电流密度. 再由 Amp\'ere 定理, $$\bex \rot{\bf B}=\mu_0({\bf j}_f+{\bf j}'), \eex$$ 其中 ${\bf j}_f$ 为传导电流密度. 于是 $$\bex \rot{\bf H}={\bf j}_f, \eex$$ 其中 ${\bf H}=\cfrac{1}{\mu_0}{\bf B}-{\bf M}$ 为磁场强度.

(4) 当 $B$ 小, 媒质各向同性时, $$\bex {\bf M}=\chi_m{\bf H},\quad {\bf B}=\mu{\bf H} \eex$$ 其中 $\chi_m$ 为磁化率, $\mu=\mu_0\mu_r$ 为磁导率, $\mu_r=1+\chi_m$ 为相对磁导率.

(5) 对非稳定的情形, $$\bex \rot{\bf H}=\cfrac{\p {\bf D}}{\p t}+{\bf j}_f. \eex$$ 求散度而有 $$\bex \cfrac{\p\rho_f}{\p t}+\Div{\bf j}_f=0. \eex$$ 与电荷守恒定律相容.

3. 媒质中的电荷在电磁场的作用下会出现极化、磁化、传导三种状态. 在各向同性的媒质中, 各向满足的关系为如下的 Maxwell 方程组: $$\beex \bea \Div{\bf D}&=\rho_f,\\ \rot{\bf D}&=-\cfrac{\p{\bf B}}{\p t},\\ \Div{\bf B}&=0,\\ \rot{\bf H}&=\cfrac{\p{\bf D}}{\p t}+{\bf j}_f. \eea \eeex$$ 另外, 还有电荷守恒律方程 $$\bex \cfrac{\p\rho_f}{\p t}+\Div{\bf j}_f=0. \eex$$ 这里, $\cfrac{\p{\bf D}}{\p t}\equiv {\bf j}_d$ 为位移电流, 并不是真正的电流.