题目链接:hdu 2824 The Euler function

题意:

让你求一段区间的欧拉函数值。

题解:

直接上板子。

推导过程:

定义:对于正整数n,φ(n)是小于或等于n的正整数中,与n互质的数的数目。

    例如:φ(8)=4,因为1,3,5,7均和8互质。

性质:1.若p是质数,φ(p)= p-1.

   2.若n是质数p的k次幂,φ(n)=(p-1)*p^(k-1)。因为除了p的倍数都与n互质

   3.欧拉函数是积性函数,若m,n互质,φ(mn)= φ(m)φ(n).

  根据这3条性质我们就可以推出一个整数的欧拉函数的公式。因为一个数总可以写成一些质数的乘积的形式。

  E(k)=(p1-1)(p2-1)...(pi-1)*(p1^(a1-1))(p2^(a2-1))...(pi^(ai-1))

    = k*(p1-1)(p2-1)...(pi-1)/(p1*p2*...*pi)

    = k*(1-1/p1)*(1-1/p2)...(1-1/pk)

在程序中利用欧拉函数如下性质,可以快速求出欧拉函数的值(a为N的质因素)

  若( N%a ==0&&(N/a)%a ==0)则有:E(N)= E(N/a)*a;

  若( N%a ==0&&(N/a)%a !=0)则有:E(N)= E(N/a)*(a-1);

 #include<bits/stdc++.h>
#define F(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
using namespace std; const int N=3e6+;
int prime[N],phi[N];
bool vis[N];
void PHI(int n,int cnt=)//O(n)预处理1到n的欧拉函数
{
F(i,,n)
{
if(!vis[i])prime[++cnt]=i,phi[i]=i-;
for(int j=,k;j<=cnt&&(k=i*prime[j])<=n;j++)
if(vis[k]=,i%prime[j]==){phi[k]=phi[i]*prime[j];break;}
else phi[k]=phi[i]*(prime[j]-);
}
} int main()
{
int a,b;
PHI(N-);
while(~scanf("%d%d",&a,&b))
{
long long ans=;
F(i,a,b)ans+=phi[i];
printf("%lld\n",ans);
}
return ;
}

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