BZOJ3944: Sum（杜教筛模板）

题面描述

传送门

题目分析

求$\sum_{i=1}^{n}\mu(i)$和$\sum_{i=1}^{n}\varphi(i)$

数据范围线性不可做。

需要使用杜教筛。

杜教筛可以在非线性时间里求出一个积性函数的前缀和。

借这里先写一些杜教筛内容。。。或许以后会补总结（雾

最开始扔积性函数:

$\mu(n)$,莫比乌斯函数
$\phi(n)$，欧拉函数。
$d(n)$,约数个数。
$\sigma(n)$,约数和函数。
$\epsilon(n)$,元函数，其值为$\epsilon(n)=[n=1]$。
$id(n)$，单位函数，$id(n)=n$。
$I(n)$，恒等函数，$I(n)=1$。

先放狄利克雷卷积的式子：

假设我们现在有两个数论函数$f,g$，则这两个函数的卷积是$(f*g)(n)=\sum_{d\mid n}f(d)·g(\frac{n}{d})$后面的括号表示范围，一般不写的时候可以默认其为$n$。

可以推出狄利克雷卷积满足以下运算律

交换律:$(f∗g=g∗f)$；
结合律:$((f∗g)∗h=f∗(g∗h))$；
分配律:$((f+g)∗h=f∗h+g∗h)$；

可以类比乘法运算律记忆。

那么我们可以开始搞杜教筛了。

现在我们要求一个积性函数$f$的前缀和，也就是$\sum_{i=1}^{n}f(i)$。

我们尝试构造两个积性函数使$h=f*g$

那么我们求一下$\sum_{i=1}^{n}h(i)$。

先记$Sum(n)$为$\sum_{i=1}^{n}f(i)$

则：

\[\sum_{i=1}^{n}h(i)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d\mid i}g(d)f(\frac{i}{d})
\]

然后明显可以反过来枚举。

\[→\sum_{d=1}^{n}g(d)\sum_{d\mid i}f(\frac{i}{d})
\]

改成枚举$\frac{i}{d}$

\[→\sum_{d=1}^{n}g(d)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}f(i)=\sum_{d=1}^{n}g(d)S(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor)
\]

然后把式子的第一项提出来，整个代回去。

\[\sum_{i=1}^{n}h(i)=g(1)·S(n)+\sum_{d=2}^{n}g(d)·S(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor)
\]

移项

\[g(1)·S(n)=\sum_{i=1}^{n}h(i)-\sum_{d=2}^{n}g(d)·S(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor)
\]

这样$g(1)$明显为$1$，所以这个式子就很明显了，只要$h(i)$的前缀和好求那么这个式子就可以在非线性时间里求出来了。

因为$h=f*g$我们换个形式表示上面的式子。

\[→g(1)·S(n)=\sum_{i=1}^{n}(f*g)(i)-\sum_{d=2}^{n}g(d)·S(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor)
\]

所以只要找到一个合适的$g$就行了。

看个例子，我们这个题要求啥来着，$\sum_{i=1}^{n}\mu(i)$和$\sum_{i=1}^{n}\varphi(i)$

先看第一个。

就不推了，根据上面那个把$f$换成$\mu$直接代到最后面。

那么应该怎么给$g$取值呢，我们可以简明扼要的先看一下那一项变成什么了。

\[→\sum_{i=1}^{n}(\mu*g)(i)
\]

有一个好消息,我们知道$\mu*I=\epsilon$。那么可以把上面的式子看成

\[\sum_{i=1}^{n}(\mu*I)(i)=\sum_{i=1}^{n}\epsilon(i)
\]

元函数的前缀和就非常好求，就是$1$，所以我们求的答案

\[S(n)=1-\sum_{d=2}^{n}g(d)·S(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor)
\]

再看第二个，我们还是相同的直接把$\varphi$代到最后面去。

则我们有式子

\[\sum_{i=1}^{n}(\varphi*g)(i)
\]

思考一下，我们记得欧拉函数有个有趣的性质$\sum_{d|n}\varphi(d)=n$

我们把它用卷积的形式表达，就是$\varphi*I=id$

带入刚才的式子里面。

\[\sum_{i=1}^{n}(\varphi*g)(i)=\sum_{i=1}^{n}id(i)
\]

明显的小高斯5岁就会的那个数列求和。。。

这个东西是$n·(n+1)/2$应该都知道。。。

然后代码实现的时候，可以先筛出根号范围内的答案，然后递归处理记忆化搜索。

由于需要储存下标非常大的值，所以需要使用哈希或者偷懒使用unordered_map,不要用map，会多一个log。

下面代码实测BZOJ可过，注意少开long long

是代码呢

#include <bits/stdc++.h>

#include <tr1/unordered_map>

using namespace std;

const int MAXN=4e6+7;

const int M=4e6;

#define ll long long

bool vis[MAXN];

int mu[MAXN],sum1[MAXN];

ll phi[MAXN],sum2[MAXN];

int cnt,prime[MAXN];

tr1::unordered_map<ll,ll> w1;

tr1::unordered_map<int,short> w;

inline void get(int N)

{

    phi[1]=mu[1]=1;

    for(int i=2;i<=N;i++){

        if(!vis[i]){

            prime[++prime[0]]=i;

            mu[i]=-1;

            phi[i]=i-1;

        }

        for(int j=1;j<=prime[0];j++){

            if(i*prime[j]>N) break;

            vis[i*prime[j]]=1;

            if(i%prime[j]==0){

                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];

                break;

            } else mu[i*prime[j]]=-mu[i],phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);

        }

    }

    for(int i=1;i<=N;i++) sum1[i]=sum1[i-1]+mu[i],sum2[i]=sum2[i-1]+phi[i];

}

int djsmu(int x)

{

    if(x<=M) return sum1[x];

    if(w[x]) return w[x];

    int ans=1;

    for(int l=2,r;l<=x;l=r+1){

        if(r==2147483647) break;

        r=x/(x/l);

        ans-=(r-l+1)*djsmu(x/l);

    }

    return w[x]=ans;

}

ll djsphi(int x)

{

    if(x<=M) return sum2[x];

    if(w1[x]) return w1[x];

    ll ans=1ll*x*(1ll*x+1)/2;

    for(int l=2,r;l<=x&&l>=0;l=r+1){

        if(r==2147483647) break;

        r=x/(x/l);

        ans-=1ll*(r-l+1)*djsphi(x/l);

    }

    return w1[x]=ans;

}

inline int read()

{

    int x=0,c=1;

    char ch=' ';

    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();

    while(ch=='-')c*=-1,ch=getchar();

    while(ch>='0'&&ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();

    return x*c;

}

int main()

{

    int T=read();

    get(M);

    while(T--){

        int n;

        n=read();

        printf("%lld %d\n", djsphi(n),djsmu(n));

    }

}