转 蓝桥杯 历届试题 波动数列 [ dp ]

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  历届试题 波动数列  

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锦囊3

 

问题描述

　　观察这个数列： 　　1 3 0 2 -1 1 -2 ...
　　这个数列中后一项总是比前一项增加2或者减少3。
　　栋栋对这种数列很好奇，他想知道长度为 n 和为 s 而且后一项总是比前一项增加a或者减少b的整数数列可能有多少种呢？

输入格式

　　输入的第一行包含四个整数 n s a b，含义如前面说述。

输出格式

　　输出一行，包含一个整数，表示满足条件的方案数。由于这个数很大，请输出方案数除以100000007的余数。

样例输入

4 10 2 3

样例输出

2

样例说明

　　这两个数列分别是2 4 1 3和7 4 1 -2。

数据规模和约定

　　对于10%的数据，1<=n<=5，0<=s<=5，1<=a,b<=5； 　　对于30%的数据，1<=n<=30，0<=s<=30，1<=a,b<=30； 　　对于50%的数据，1<=n<=50，0<=s<=50，1<=a,b<=50； 　　对于70%的数据，1<=n<=100，0<=s<=500，1<=a, b<=50； 　　对于100%的数据，1<=n<=1000，-1,000,000,000<=s<=1,000,000,000，1<=a, b<=1,000,000。

转一发题解：

http://m.blog.csdn.net/blog/quzhongrensan511/23156363

原题可化为nx+(n-1)p(1)+(n-2)p(2)+…+p(n)=s，其中n为数列长度，x为初值，p(i)={a,-b}。本题的目标是给出不同的p序列，使得等式成立并且x为整数。自然而然可以想到枚举的方法，给出不同的序列，令t=s-Σi*p(n-i)，若t%n==0则是一种可取的方案。直接枚举肯定会超时，所以需要进一步考虑。注意到，a和b的总数为n(n-1)/2个（所有p前系数的和），所以我们只需要枚举a的个数，将t修改为t=s-ca-(n(n-1)/2-c)b，c为枚举数，0<=c<=n(n-1)/2。

当然满足条件的c的个数并不是我们想要的，因为给定一个c，存在多种组合方式。但是可以发现，每个c都是由1~n-1中若干元素组成的。于是问题转化为求容量为c的01背包的方案数。对于本题，可以写为：（f[i][j]为前i个物体构成j体积的方案数，第i个物体的体积为i）

f[i][j]=f[i-1][j],  i>j

f[i-1][j]+f[i-1][j-i],  j>=i

注意到递推式只和前一状态有关，故可以使用滚动数组；根据定义，可以预先算出每一个f[n][i]，避免重复计算；前i个货物最多只能达到i*(i+1)/2的体积，所以大于这个数值的部分没有必要计算。具体的请看代码，其实就这么几行。

思路真是好~