BZOJ_1485_[HNOI2009]有趣的数列_卡特兰数

BZOJ_1485_[HNOI2009]有趣的数列_卡特兰数

Description

我们称一个长度为2n的数列是有趣的，当且仅当该数列满足以下三个条件：

(1)它是从1到2n共2n个整数的一个排列{a_i}；

(2)所有的奇数项满足a₁<a₃<…<a_2n-1，所有的偶数项满足a₂<a₄<…<a_2n；

(3)任意相邻的两项a_2i-1与a_2i(1≤i≤n)满足奇数项小于偶数项，即：a_2i-1<a_2i。

现在的任务是：对于给定的n，请求出有多少个不同的长度为2n的有趣的数列。因为最后的答案可能很大，所以只要求输出答案 mod P的值。

Input

输入文件只包含用空格隔开的两个整数n和P。输入数据保证，50%的数据满足n≤1000，100%的数据满足n≤1000000且P≤1000000000。

Output

仅含一个整数，表示不同的长度为2n的有趣的数列个数mod P的值。

Sample Input

3 10

Sample Output

5

对应的5个有趣的数列分别为（1,2,3,4,5,6），（1,2,3,5,4,6），（1,3,2,4,5,6），（1,3,2,5,4,6），（1,4,2,5,3,6）。

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发现答案就是卡特兰数的第n项，推导如下：

1~2n中的每个数，如果i这个数放到了新序列的奇数项就往右走一步，如果放到了偶数项就往上走一步。

要求中间的任何时候选的奇数项的个数都大于等于偶数项的个数，走的方案数就是卡特兰数。

Catalan[n]=C[2n][n]/n+1  模数不是质数比较难办。

考虑建一个质数表，把分子的质因子都加进去，再把分母的质因子减去，然后扫一遍数表即可。

时间复杂度O(n/lnn*logn)

代码：

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <math.h>
using namespace std;
#define N 2000050
typedef long long ll;
int n,p,c[N],prime[N],vis[N],cnt;
void init() {
	int i,j;
	for(i=2;i<=2*n;i++) {
		if(!vis[i]) {
			prime[++cnt]=i;
		}
		for(j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=2*n;j++) {
			vis[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0) {
				break;
			}
		}
	}
}
ll qp(ll x,ll y) {
	ll re=1;
	while(y) {
		if(y&1ll) re=re*x%p;
		x=x*x%p;
		y>>=1ll;
	}
	return re;
}
int main() {
	scanf("%d%d",&n,&p);
	init();
	ll i,j;
	for(i=1;i<=cnt;i++) {
		for(j=prime[i];j>0&&j<=2*n;j*=prime[i]) {
			c[i]+=(2*n)/j;
			c[i]-=(n/j);
			c[i]-=((n+1)/j);
		}
	}
	ll ans=1;
	for(i=1;i<=cnt;i++) {
		if(c[i]) ans=ans*qp(prime[i],c[i])%p;
	}
	printf("%lld\n",ans);
}