图论之最短路径（1）——Floyd Warshall & Dijkstra算法

开始图论学习的第二部分：最短路径。

由于知识储备还不充足，暂时不使用邻接表的方法来计算。

最短路径主要分为两部分：多源最短路径和单源最短路径问题

多源最短路径：

介绍最简单的Floyd Warshall算法：

思路如下：把所有从顶点i到j可能经过的顶点一一枚举，不断更新从i到j的最小权值:d[i][j] = min{d[i][j],d[i][k]+d[k][j]},是一种动规的思想

局限性：不能处理有负权回路（负圈）的情况，而且一般是使用邻接矩阵的方式来实现。

优劣性：思路简单，核心代码简洁易懂，但是时间复杂度为O(N^3)效率较差，适合处理小范围数据。

核心代码只有5行：

for (int k = 1; k <= n; k++)
    for (int i = ; i <= n; i++)
        for (int j = ; j <= n; j++)
            if (e[i][j]>e[i][k] + e[k][j])
                e[i][j] = [i][k] + e[k][j];            

在情况不是特别复杂的情况下也可以用来求解单源最短路径问题

单源最短路径：

先介绍简单的Dijkstra算法

核心思路：假设计算从顶点1到其余各顶点的最短路径。先用一个一维数组dis储存1号顶点到其余各顶点的初始路程（这时每个值被称为估计值），找到一个离1的距离最小的顶点，比如2，那么dis[2]的值就成为确定值（因为顶点1到其它顶点的距离都更长，所以从其他顶点中转肯定没有直接从1走到2短，那么这个值就是1到2的最短路径）。现在我们有了一个确定值dis[2]，就开始利用这个值尝试去更新1到其他顶点的最短距离（说白了就是都从2绕一下试试），更新完成后我们就不再管顶点2，从顶点3开始再搜索一个到1距离最短的点（这时候用的是已经更新过的值），不断重复上述的过程，直到所有的估计值都变成确定值。

局限性：不能应对有负权边的情况

优化:当边数较少时（稀疏图），使用邻接表效率会比邻接矩阵更高（后续会给出，这里先用邻接矩阵写）

要注意的是：我们使用两个集合P和Q来区别已经确定的顶点和待确定的顶点（用book数组来标记）

整体代码如下：（求顶点1到其他顶点的最短路径）

/*Dijkstra算法用邻接矩阵实现,求一号顶点到其他各顶点的最短路径*/
# include<iostream>

using namespace std;

int dis[],book[];//dis数组存放估计值，最后变为确定值。book数组用于标记顶点是否被处理过

int e[][];//邻接矩阵

const int INF = ;//INF用于表示正无穷

int main()
{
    int n, m;//n为顶点数目，m为边的数目
    int t1, t2, t3;
    int temp;

    //初始化邻接矩阵：
    for (int i = ; i <= ; i++)
        for (int j = ; j <= ; j++)
        {
            if (i == j)
                e[i][j] = ;
            else
                e[i][j] = INF;
        }

    //读入边：
    for (int i = ; i < m; i++)
    {
        cin >> t1 >> t2 >> t3;//表示从顶点t1到顶点t2有一条权为t3的边
        e[t1][t2] = t3;//这里是有向图
    }

    //初始化dis数组：
    for (int i = ; i <= n; i++)
        dis[i] = e[][i];

    //初始化book数组，说明dis[1]已经是确定值了
    book[] = ;

    //Dijkstra算法核心：
    for (int i = ; i < n; i++)//只用执行n-1次，最后一个点一定是确定的
    {
        //第一步：找到现在距离顶点1最近的点
        int min = INF;
        for (int j = ; j <= n; j++)
        {
            if (book[j] ==  && dis[j] < min)
            {
                min = dis[j];
                temp = j;//记录
            }

            book[temp] = ;

            for (int i = ; i <= n; i++)
            {
                if (e[temp][i] < INF)
                {
                    if (dis[i]>dis[temp] + e[temp][i])
                        dis[i] = dis[temp] + e[temp][i];
                }
            }
        }
    }

    //输出：
    for (int i = ; i <= n; i++)
        cout << dis[i] << " ";

    //system("pause");

    return ;
}