[BZOJ 4819] [SDOI 2017] 新生舞会

Description

学校组织了一次新生舞会，Cathy作为经验丰富的老学姐，负责为同学们安排舞伴。

有 $n$ 个男生和 $n$ 个女生参加舞会买一个男生和一个女生一起跳舞，互为舞伴。

Cathy收集了这些同学之间的关系，比如两个人之前认识没计算得出 $a_{i,j}$。

Cathy还需要考虑两个人一起跳舞是否方便，比如身高体重差别会不会太大，计算得出 $b_{i,j}$，表示第 $i$ 个男生和第 $j$ 个女生一起跳舞时的不协调程度。

当然，还需要考虑很多其他问题。

Cathy想先用一个程序通过 $a_{i,j}$ 和 $b_{i,j}$ 求出一种方案，再手动对方案进行微调。

Cathy找到你，希望你帮她写那个程序。

一个方案中有n对舞伴，假设没对舞伴的喜悦程度分别是 $a'_1,a'_2,...,a'_n$，假设每对舞伴的不协调程度分别是 $b'_1,b'_2,...,b'_n$。令

\[C=\frac{a'_1+a'_2+...+a'_n}{b'_1+b'_2+...+b'_n}
\]

Cathy希望 $C$ 值最大。

Input

第一行一个整数 $n$。

接下来 $n$ 行，每行 $n$ 个整数，第 $i$ 行第 $j$ 个数表示 $a_{i,j}$。

接下来 $n$ 行，每行 $n$ 个整数，第 $i$ 行第 $j$ 个数表示 $b_{i,j}$。

Output

一行一个数，表示 $C$ 的最大值。四舍五入保留 $6$ 位小数，选手输出的小数需要与标准输出相等。

Sample Input

Sample Output

5.357143

HINT

对于10%的数据，$1\le n\le 5$

对于40%的数据，$1\le n\le 18$

另有20%的数据，$b_{i,j}\le 1$

对于100%的数据，$1\le n\le 100,1\le a_{i,j},b_{i,j}<=10^4$

Solution

分数规划，二分答案 $mid$，将边的费用设为 $b_{i,j}\cdot mid-a_{i,j}$，若最小费用 $>0$，则令 $r=mid$，否则令 $l=mid$。

注意 $1e9+1e^{-8}$ 会爆 $double$ 的精度，所以避免写 $\inf+eps$。

Code

#include <queue>

#include <cstdio>

#include <algorithm>

const double eps = 1e-8, INF = 1e8;

int n, a[102][102], b[102][102], head[205], tot = 1, S, T, p[205], c[205]; double d[205];

struct Edge {

	int u, v, nxt, f, c; double w; Edge(){}

	Edge(int u, int v, int nxt, int f, int c, double w) : u(u), v(v), nxt(nxt), f(f), c(c), w(w) {}

} e[20402];

int read() {

	int x = 0; char c = getchar();

	while (c < '0' || c > '9') c = getchar();

	while (c >= '0' && c <= '9') x = (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48), c = getchar();

	return x;

}

void adde(int u, int v) {

	e[++tot] = Edge(u, v, head[u], 0, 1, 0), head[u] = tot;

	e[++tot] = Edge(v, u, head[v], 0, 0, 0), head[v] = tot;

}

bool spfa(int &flow, double &cost) {

	int inq[205] = {}, u; std::queue<int> q;

	for (int i = 1; i <= T; ++i) d[i] = INF;

	d[S] = p[S] = 0, q.push(S), inq[S] = 1, c[S] = INF;

	while (!q.empty()) {

		u = q.front(), q.pop(), inq[u] = 0;

		for (int i = head[u]; i; i = e[i].nxt)

			if (e[i].c > e[i].f && d[e[i].v] > d[u] + e[i].w + eps) {

				d[e[i].v] = d[u] + e[i].w, p[e[i].v] = i, c[e[i].v] = std::min(c[u], e[i].c - e[i].f);

				if (!inq[e[i].v]) q.push(e[i].v), inq[e[i].v] = 1;

			}

	}

	if (d[T] + 1 > INF) return false;

	flow += c[T], cost += c[T] * d[T], u = T;

	while (u != S) e[p[u]].f += c[T], e[p[u] ^ 1].f -= c[T], u = e[p[u]].u;

	return true;

}

double mcmf() {

	int flow = 0; double cost = 0;

	while (spfa(flow, cost)) {}

	return cost;

}

int main() {

	n = read(), S = n << 1 | 1, T = S + 1;

	for (int i = 1; i <= n; ++i)

		for (int j = 1; j <= n; ++j) a[i][j] = read();

	for (int i = 1; i <= n; ++i)

		for (int j = 1; j <= n; ++j) b[i][j] = read();

	for (int i = 1; i <= n; ++i)

		for (int j = 1; j <= n; ++j) adde(i, n + j);

	for (int i = 1; i <= n; ++i) adde(S, i), adde(n + i, T);

	double l = 0, r = 10000, mid;

	while (l + eps < r) {

		mid = (l + r) / 2;

		for (int i = 1, k = 0; i <= n; ++i)

			for (int j = 1; j <= n; ++j) k += 2, e[k].w = mid * b[i][j] - a[i][j], e[k ^ 1].w = a[i][j] - mid * b[i][j];

		for (int i = 2; i <= tot; ++i) e[i].f = 0;

		if (mcmf() > eps) r = mid; else l = mid;

	}

	printf("%.6lf", l);

	return 0;

}