ST表的原理及其实现

ST表类似树状数组,线段树这两种算法,是一种用于解决RMQ(Range Minimum/Maximum Query,即区间最值查询)问题的离线算法

与线段树相比,预处理复杂度同为O(nlogn),查询时间上,ST表为O(1),线段树为O(nlogn)

st表的主体是一个二维数组st[i][j],表示需要查询的数组的从下标i到下标i+2^j - 1的最值,这里以最小值为例

预处理函数:

int a[];//原始输入数组
int st[][];//st表 void init(int n)
{
for (int i = ; i < n; i++)
st[i][] = a[i]; for (int j = ; ( << j) <= n; j++)
{
for (int i = ; i + ( << j) - < n; i++)
st[i][j] = min(st[i][j - ],st[i + ( << (j - ))][j - ]);
}
}

这里首先把从0~n-1的2^0部分进行覆盖,再往下继承

继承这里也很好理解,我们以一个长度为5的数组[5,1,2,3,4]为例

2^0部分覆盖过去自然是5,4,3,2,1

2^1部分的长度为4,从0一直到3,因为从下标为4开始后面只有他自己

st[0][1]是下标为0~1的最小值,自然也就是st[0][0]和st[1][0]的最值

以此往下类推我们可以得出结论:

st[i][j] = min(st[i][j - 1],st[i + 2^(j - 1))][j - 1])

到这里初始化就完成了,注意下标不要越界,如果你对为什么这么处理有困惑的话,请继续看查询

查询函数这里不太好理解

初始化时,每一个状态对应的区间长度都为2^j,由于给出的查询区间长度不一定恰好为2^j,

所以我们要引出一个定理:2^log(a)>a/2 。

因为log(a)表示小于等于a的2的最大几次方。 
比如说log(4)=2,log(5)=2,log(6)=2,log(7)=2,log(8)=3,log(9)=3……. 
那么我们要查询x到y的最小值。 
设len=y-x+1,t=log(len) 
根据上面的定理:2^t>len/2 
从位置上来说,x+2^t越过了x到y的中间! 
因为位置过了一半 
所以x到y的最小值可以表示为min(从x往后2^t的最小值,从y往前2^t的最小值) 
前面的状态表示为mn[t][x] 
设后面(从y往前2^t的最小值)的初始位置是k, 
那么k+2^t-1=y,所以k=y-2^t+1 
所以后面的状态表示为mn[t][y-2^t+1] 
所以x到y的最小值表示为min(mn[t][x],mn[t][y-2^t+1]),所以查询时间复杂度是O(1)

int search(int l, int r)
{
int k = (int)(log((double)(r - l + )) / log(2.0));
return min(st[l][k],st[r - ( << k) + ][k]);
}

示例程序:

#include <iostream>
#include <algorithm> using namespace std; int a[];//原始输入数组
int st[][];//st表 void init(int n)
{
for (int i = ; i < n; i++)
st[i][] = a[i]; for (int i = ; ( << i) <= n; i++)
{
for (int j = ; j + ( << i) - < n; j++)
st[j][i] = min(st[j][i - ],st[j + ( << (i - ))][i - ]);
}
} int search(int l, int r)
{
int k = (int)(log((double)(r - l + )) / log(2.0));
return min(st[l][k],st[r - ( << k) + ][k]);
} int main()
{
int n,m;
while (cin >> n >> m)
{
for (int i = ; i < n; i++)
cin >> a[i]; init(n); while (m--)
{
int l, r;
cin >> l >> r;
cout << search(l,r) << endl;;
}
}
return ;
}
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ST表算法详解

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