【algo&ds】6.图及其存储结构、遍历

1.什么是图

图表示”多对多”的关系

包含

一组顶点：通常用 V（Vertex）表示顶点集合

一组边：通常用 E（Edge）表示边的集合

边是顶点对：（v,w）∈ E，其中 v,w ∈ V ，v—w

有向边 <v,w> 表示从 v 指向 w 的边（单行线） v→w

不考虑重边和自回路

常见术语

无向图：图中所有的边无所谓方向

有向图：图中的边可能是双向，也可能是单向的，方向是很重要的

权值：给图中每条边赋予的值，可能有各种各样的现实意义

网络：带权值的图

邻接点：有边直接相连的顶点

出度：从某顶点发出的边数

入度：指向某顶点的边数

稀疏图：顶点很多而边很少的图

稠密图：顶点多边也多的图

完全图：对于给定的一组顶点，顶点间都存在边

抽象数据类型定义

类型名称：图（Graph）

数据对象集：G（V，E）由一个非空的有限顶点集合 V 和一个有限边集合 E 组成

操作集：对于任意图 G ∈ Graph，以及 v ∈ V，e ∈ E

主要操作有：

Graph Crate()：建立并返回空图

Graph InsertVertex(Graph G,Vertex v)：将 v 插入 G

Graph InsertEdge(Graph G,Edge e)：将 e 插入 G

void DFS(Graph G,Vertex v)：从顶点 v 出发深度优先遍历图 G

void BFS(Graph G,Vertex v)：从顶点 v 出发宽度优先遍历图 G

2.图的存储结构表示

2.1邻接矩阵表示

邻接矩阵 G[N][N]——N 个顶点从 0 到 N-1 编号

存在边<vi,vj>，则G[i][j]=1，否则为0

特征：

对角线元素全 0

关于对角线对称

优点：

直观、简单、好理解

方便检查任意一对顶点间是否存在边

方便找任一顶点的所有邻接点

方便计算任一顶点的度

无向图：对应行（或列）非 0 元素的个数

有向图：对应行非 0 元素的个数是出度；对应列非 0 元素的个数是入度

缺点：

浪费空间——存稀疏图

浪费时间——统计稀疏图的边

代码实现

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define MaxVertexNum 100
typedef int weightType;
typedef int Vertex;
typedef int DataType;
typedef struct GNode *ptrToGNode;
struct GNode{   // 图
	int Nv;   // 顶点数
	int Ne;   // 边数
	weightType G[MaxVertexNum][MaxVertexNum];
	DataType Data[MaxVertexNum]; // 存顶点的数据
};
typedef ptrToGNode MGraph;
typedef struct ENode *ptrToENode;
struct ENode{  // 边
	Vertex V1,V2;    // 有向边<V1,V2>
	weightType Weight;  // 权重
};
typedef ptrToENode Edge;

// 初始化图
MGraph Create(int VertexNum){
	Vertex v,w;
	MGraph Graph;

	Graph = (MGraph)malloc(sizeof(struct GNode));
	Graph->Nv = VertexNum;
	Graph->Ne = 0;

	for(v=0;v<VertexNum;v++)
		for(w=0;w<VertexNum;w++)
			Graph->G[v][w] = 0;
	return Graph;
}

// 插入边
MGraph Insert(MGraph Graph,Edge E){

	// 插入边 <V1,V2>
	Graph->G[E->V1][E->V2] = E->Weight;

	// 如果是无向图，还需要插入边 <V2,V1>
	Graph->G[E->V2][E->V1] = E->Weight;

} 

// 建图
MGraph BuildGraph(){
	MGraph Graph;
	Edge E;
	Vertex V;
	int Nv,i;
	scanf("%d",&Nv);   // 读入顶点数
	Graph = Create(Nv);
	scanf("%d",&(Graph->Ne));  // 读入边数
	if(Graph->Ne != 0){
		E = (Edge)malloc(sizeof(struct ENode));
		for(i=0;i<Graph->Ne;i++){
			scanf("%d %d %d",&E->V1,&E->V2,&E->Weight);  // 读入每个边的数据
			Insert(Graph,E);
		}
	}
	return Graph;
}

// 遍历图
void print(MGraph Graph){
	Vertex v,w;
	for(v=0;v<Graph->Nv;v++){
		for(w=0;w<Graph->Nv;w++)
			printf("%d ",Graph->G[v][w]);
		printf("\n");
	}
} 

int main(){
	MGraph Graph;
	Graph = BuildGraph();
	print(Graph);
	return 0;
}

2.2邻接表实现

特点：

• 方便找任一顶点的所有邻接顶点
• 节省稀疏图的空间
  • 需要 N 个头指针 + 2E 个结点（每个结点至少 2 个域）
• 对于是否方便计算任一顶点的度
  • 无向图：方便
  • 有向图：只能计算出度
• 不方便检查任意一对顶点间是否存在边

代码实现

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define MaxVertexNum 100
typedef int Vertex;
typedef int DataType;
typedef int weightType;  

typedef struct ENode *ptrToENode;
struct ENode{  // 边
	Vertex V1,V2;    // 有向边<V1,V2>
	weightType Weight;  // 权重
};
typedef ptrToENode Edge;

typedef struct AdjVNode *ptrToAdjVNode;
struct AdjVNode{  // 邻接表内元素
	Vertex AdjV;  // 邻接点下标
	weightType Weight;  // 权值
	ptrToAdjVNode Next;  // 下一个
};

typedef struct VNode{  // 邻接表头
	ptrToAdjVNode FirstEdge;  // 存每个顶点指针
	DataType Data;  // 顶点数据
}AdjList[MaxVertexNum];

typedef struct GNode *ptrToGNode;
struct GNode{  // 图
	int Nv;  // 顶点
	int Ne;  // 边数
	AdjList G; // 邻接表
};
typedef ptrToGNode LGraph;

// 初始化
LGraph create(int VertexNum){
	Vertex v,w;
	LGraph Graph;

	Graph = (LGraph)malloc(sizeof(struct GNode));
	Graph->Nv = VertexNum;  // 初始化边
	Graph->Ne = 0;   // 初始化点

	// 每条边的 FirstEdge 指向 NULL
	for(v=0;v<Graph->Nv;v++)
		Graph->G[v].FirstEdge = NULL;
	return Graph;
}

// 插入一条边到邻接表的顶点指针之后
void InsertEdge(LGraph Graph,Edge E){
	ptrToAdjVNode newNode; 

	/**************** 插入边<V1,V2> ******************/
	// 为 V2 建立新的结点
	newNode = (ptrToAdjVNode)malloc(sizeof(struct AdjVNode));
	newNode->AdjV = E->V2;
	newNode->Weight = E->Weight;

	// 将 V2 插入到邻接表头
	newNode->Next = Graph->G[E->V1].FirstEdge;
	Graph->G[E->V1].FirstEdge = newNode;

	/*************** 若为无向图，插入边<V2,V1> *************/
	newNode = (ptrToAdjVNode)malloc(sizeof(struct AdjVNode));
	newNode->AdjV = E->V1;
	newNode->Weight = E->Weight;

	newNode->Next = Graph->G[E->V2].FirstEdge;
	Graph->G[E->V2].FirstEdge = newNode;
} 

// 建图
LGraph BuildGraph(){
	LGraph Graph;
	Edge E;
	Vertex V;
	int Nv,i;
	scanf("%d",&Nv);
	Graph = create(Nv);
	scanf("%d",&(Graph->Ne));
	if(Graph->Ne != 0){
		for(i=0;i<Graph->Ne;i++){
			E = (Edge)malloc(sizeof(struct ENode));
			scanf("%d %d %d",&E->V1,&E->V2,&E->Weight);
			InsertEdge(Graph,E);
		}
	}
	return Graph;
} 

// 打印
void print(LGraph Graph){
	Vertex v;
	ptrToAdjVNode tmp;
	for(v=0;v<Graph->Nv;v++){
		tmp = Graph->G[v].FirstEdge;
		printf("%d ",v);
		while(tmp){
			printf("%d ",tmp->AdjV);
			tmp = tmp->Next;
		}
		printf("\n");
	}
}

int main(){
	LGraph Graph;
	Graph = BuildGraph();
	print(Graph);
	return 0;
}

3.图的遍历

3.1深度优先搜索DFS

void DFS ( Vertex V ){
    visited[ V ] = true;
    for ( V 的每个邻接点 W )
        if( !visited[ W ])
            DFS( W );
}

3.2广度优先搜索BFS

void BFS( Vertex V ){
    queue<Vertex> q;
    visited[V] = true;
    q.push(V);
    while(!q.empty()){
        V = q.front(); q.pop();
        for( V 的每个邻接点 W ){
        	if( !visited[ W ]){
            	visited[W] = true;
            	q.push(W);
            }
        }
    }
}