luogu P2401 不等数列 |动态规划

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题目描述

将1到n任意排列，然后在排列的每两个数之间根据他们的大小关系插入“>”和“<”。问在所有排列中，有多少个排列恰好有k个“<”。答案对2015取模。

注：1_{n的排列指的是1}n这n个数各出现且仅出现一次的数列。

输入格式

第一行2个整数n,k。

输出格式

一个整数表示答案。

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我们考虑现在我们已经有了n−1个数的排列，再插入nnn使其变成nnn个数的排列

显然，n有n个位置可以选择，我们先来考虑两边的位置。

如果插入到最左边，会造成新的序列比原来多一个大于号

如果插入到最右边，会造成新的序列比原来多一个小于号

其他的位置就是插入到大于号或小于号的位置

如果插入到大于号的位置，删去一个大于号，多一个大于号一个小于号，也就是多一个小于号

如果插入到小于号的位置，删去一个小于号，多一个大于号一个小于号，也就是多一个大于号

我们会发现插入一个数只有多一个小于号和小于号数目不变两种情况

我们用dp[i][j]表示i个数恰有j个小于号的排列数

那么显然

dp[i+1][j]+=dp[i][j]*(j+1)

dp[i+1][j+1]+=dp[i][j]*(i-j)

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1e3+10,mod=2015;
int n,k,dp[N][N];
signed main(){
	cin>>n>>k;
	dp[1][0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	for(int j=0;j<=i;j++){
		(dp[i+1][j]+=dp[i][j]*(j+1))%=mod;
		(dp[i+1][j+1]+=dp[i][j]*(i-j))%=mod;
	}
	cout<<dp[n][k]<<endl;
}