P2401 不等数列

题目描述

将1到n任意排列，然后在排列的每两个数之间根据他们的大小关系插入“>”和“<”。问在所有排列中，有多少个排列恰好有k个“<”。答案对2015取模。

注：1~n的排列指的是1~n这n个数各出现且仅出现一次的数列。

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第一行2个整数n,k。

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一个整数表示答案。

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说明

对于30%的数据：n <= 10

对于100%的数据：k < n <= 1000

//dp[i][j]表示前i个数插入了j个<号的方案数。
//不考虑怎么插入'>'、'<'号，因为符号是根据数字序列确定的，
//所以我们按顺序插入a->f，符号也就跟着确定了
//考虑一下这样一个序列：
//            a<b<d>c<e
//    如果在a<b之间插入f，则变成了a<b>f，<号个数不变
//    如果在a之前插入f，则f>a，<号个数也不变
//    即在<号和序列前插入，<号的个数不会改变
//所以dp[i][j]可以增加dp[i-1][j]*(  j     +    1 )%mod种
//                              <号个数     序列前端
//    如果在d>c之间插入f，则变成了d<f>c，增加了一个<号
//     如果在e后面插入f，则e<f，增加了一个<号
//    即在>号和序列末插入，<号的个数会增加1
//所以dp[i][j]可以增加dp[i-1][j-1]*( (i-1)   - (j-1)       -1            +   1       -> i-j  )%mod个
//                                数字个数   <号个数  符号个数为数字个数-1    序列末尾   大于号个数+序列末尾
//即dp[i][j]=(dp[i-1][j-1]*(i-j)%mod+dp[i-1][j]*(j+1)%mod)%mod;

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N=1e3+;
const int mod=;

int n,k;
int dp[N][N];

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&k);
    dp[][]=;
    for(int i=;i<=n;++i)
    {
        dp[i][]=;        //前i个数0个<号的情况只有1种，即单调上升。
        for(int j=;j<=k;++j)
        {
            dp[i][j]=(dp[i-][j-]*(i-j)%mod+dp[i-][j]*(j+)%mod)%mod;
        }
    }
    printf("%d",dp[n][k]);
    return ;
}