大素数测试的Miller-Rabin算法

Miller-Rabin算法本质上是一种概率算法，存在误判的可能性，但是出错的概率非常小。出错的概率到底是多少，存在严格的理论推导。

一、费马小定理

假如p是质数，且gcd(a,p)=1，那么 a^(p-1)≡1（mod p）

如果存在a<p，且a^(p-1) % p != 1，则p肯定不是素数。

二、有限域上的平方根定理

三、Miller-Rabin算法

对于一个大数n，判断n是不是素数的时候，可以先考虑a^（n-1）≡ 1（mod n）

对于n-1，一定可以拆分成2^s+d：

可以从x = a^d开始，依次平方s次，每次平方的时候模上n，按照之前的平方根定理，如果模上n的结果为1的话，那么x一定是1，或者是n-1，如果不满足则不是素数，x=x²，再次循环。

每次随机选一个在2-n-1的数字作为a，可以重复测试。

由于mod上的是n，n是一个大数，所以快速幂中的乘法，需要用快速加法来实现。不然就算模上之后再相乘也会溢出。

 #include<iostream>
 #include<ctime>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 const int maxn = +;
 ll mul(ll a, ll b, ll m)
 //求a*b%m
 {
     ll ans = ;
     a %= m;
     while(b)
     {
         if(b & )ans = (ans + a) % m;
         b /= ;
         a = (a + a) % m;
     }
     return ans;
 }
 ll pow(ll a, ll b, ll m)
 //a^b % m
 {
     ll ans = ;
     a %= m;
     while(b)
     {
         if(b & )ans = mul(a, ans, m);
         b /= ;
         a = mul(a, a, m);
     }
     ans %= m;
     return ans;
 }
 bool Miller_Rabin(ll n, int repeat)//n是测试的大数，repeat是测试重复次数
 {
     if(n ==  || n == )return true;//特判
     if(n %  ==  || n == )return false;//偶数和1

     //将n-1分解成2^s*d
     ll d = n - ;
     int s = ;
     while(!(d & )) ++s, d >>= ;
     srand((unsigned)time(NULL));
     for(int i = ; i < repeat; i++)//重复repeat次
     {
         ll a = rand() % (n - ) + ;//取一个随机数,[2,n-1)
         ll x = pow(a, d, n);
         ll y = ;
         for(int j = ; j < s; j++)
         {
             y = mul(x, x, n);
             if(y ==  && x !=  && x != (n - ))return false;
             x = y;
         }
         if(y != )return false;//费马小定理
     }
     return true;
 }
 int main()
 {
     int T;
     cin >> T;
     ll n;
     while(T--)
     {
         cin >> n;
         if(Miller_Rabin(n, ))cout<<"Yes"<<endl;
         else cout<<"No"<<endl;
     }
 }