数论 + 扩展欧几里得 - SGU 106. The equation

The equation

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Mean:

给你7个数，a,b,c,x1,x2,y1,y2.求满足a*x+b*y=-c的解x满足x1<=x<=x2,y满足y1<=y<=y2.求满足条件的解的个数.

analyse:

做法是扩展欧几里德.

1.首先是欧几里德算法，欧几里德算法是用于求任意两个数的最大公约数（gcd(a,b)），

这个方法基于一个定理，gcd(a,b)=gcd(b,a % b)(a>b),%表示取模.

我们来证明上述定理，因为a>b,所以我们可以将a表示成a=kb+r，

假设gcd(a,b)=d，也就是两个数的最大公约数为d.

那么d|a,d|b,这是显然的.

又因为r=a-kb,所以d|r.

而r的值就像当于a % b,

所以gcd(a,b)=gcd(b,a%b).

2、欧几里德扩展算法。根据贝祖定理，如果gcd(a,b)=d,那么一定存在整数x,y使得a*x+b*y=gcd(a,b)=d.并且a和b的线性和都为d的整数倍.

欧几里德扩展算法就是用来求出这个线性方程的一个解的。注意，只是其中一个解.

首先设两个数aa=b,bb=a%b=a-a/b*b;

因为gcd(a,b)=gcd(b,a%b)=gcd(aa,bb).

所以aa*xx+bb*yy=gcd(aa,bb)=gcd(a,b)

我们用a和b来表示aa,bb.

所以b*xx+(a-a/b*b)yy=gcd(a,b)

a*yy+b*(xx-a/b*yy)=gcd(a,b).

对照不定方程a*x+b*y=gcd(a,b)

我们可以得到该不定方程的解为x=yy,y=xx-a/b*yy.

当我们递归上述操作时会得到b=0的情况，此时式子相当与a*xx=a,

所以此时xx=1,yy=0;以此做返回值.

3、对于a*x+b*y=n这个不定方程的求解。
根据贝祖定理，我们知道a*x+b*y这个不定方程的值一定是gcd(a,b)的整数倍。
那么如果n不是gcd(a,b)的倍数，该不定方程一定没有整数解。
我们先求解出gcd(a,b).
方程两边同时除以gcd(a,b).我们假设aa=a/gcd(a,b),bb=b/gcd(a,b),nn=n/gcd(a,b)
所以方程两边同时除以gcd(a,b)后，
可以得到一个方程aa*x+bb*y=nn.
并且该方程aa*x+bb*y=nn的解x,y就是a*x+b*y=n的解。
我们转化成这个方程有什么用处呢？
用处就在于gcd(aa,bb)=1.
我们只要求解出aa*x+bb*y=1的其中一个解，设这两个解为x0,y0.
那么aa*x+bb*y=nn的其中一个解解就是x0*nn,y0*nn.
接着，a*x+b*y=n的其中一个解解也就是x0*nn,y0*nn.

很显然，这道题目要我们求解的个数，一个解是不够的。
我们继续看a*x+b*y=n这个式子，它的一个解为x0*nn,y0*nn.我们尝试代入，得到
a*(x0*nn)+b*(y0*nn)=n.
我们会发现
a*(x0*nn+1*b)+b*(y0*nn-1*a)=n
a*(x0*nn-1*b)+b*(y0*nn+1*a)=n.
继续推广
a*(x0*nn+k*b)+b*(y0*nn-k*a)=n （k属于整数）
nn=n/gcd(a,b).
那么一个结论出来了
『x=x0*nn+k*b
y=y0*nn-k*a
k属于整数
nn=n/gcd(a,b)
x0,y0,为a/gcd(a,b)*x+b/gcd(a,b)*y=1的一个解』
为原不定方程a*x+b*y=n的所有解。

4、关于sgu106的求解。
sgu106与a*x+b*y=n这个不定方程求解这两个问题的不同之处就在于。
sgu106的解有取值范围。
我们把x0*nn,y0*nn看成两个常数xz,yz.
那么原方程解就变成两个一次函数
x=k*b+xz（1）
y=-k*a+yz（2）
sgu106这道题就转化成为了求k所能够取到的整数个数
首先，弄清出已知与未知。
我们已知xz,yz，也已知方程左边的x和y的取值范围为x1到x2,y1到y2，也已知a和b
我们只需要求出k即可。
对于方程（1），我们带入x1,x2当作x的值，那么可以求出k1,k2(k1<k2)
同理，带入（2）,我们可以求出k3,k4.(k3<k4)
那么我们最后的答案ans=min(k2,k4)-max(k1,k3)+1即可。

Time complexity: O(N)

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