[洛谷]P3704-数字表格

妙啊,这又是一道反演题,而且个人感觉比较高级

传送门


大意

在\(N\times M\)的数表\(a\)中,\(a_{i,j}\)表示f((i,j)),其中\((i,j)\)表示\(i\)和\(j\)的最大公约数,\(f\)为\(fibnaci\)数列

求$$\prod_{i=1}N\prod_{j=1}M a_{i,j}$$


那么显然这又是一个褪柿子的题QwQ,于是我们可以开心的推这个奇怪的柿子


为了便于书写,我们令\(N<=M\)

\[\prod_{i=1}^N\prod_{j=1}^M\prod_{d=1}^N[(i,j)==d]f(d)
\]

稍微换下位置,有

\[\prod_{d=1}^Nf(d)\prod_{i=1}^N\prod_{j=1}^M[(i,j)==d]
\]

也就是说\(f(d)\)被乘了后面这么多次

\[\prod_{d=1}^Nf(d)^{\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^M[(i,j)==d]}
\]


指数上的柿子是个非常经典了老问题了,我们小小的复习一下

令$$f(d)={\sum_{i=1}N\sum_{j=1}M[(i,j)==d]}$$

这里的\(f(d)\)与原问题中的\(f\)不重合,只是我们中间推理用的字母。

设$$F(n)=\sum_{n|d} f(d)$$,则有

\[F(n)=\lfloor\frac{N}{n}\rfloor\lfloor\frac{M}{n}\rfloor
\]

反演一下

\[f(n)=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})F(d)
\]

往一开始的柿子上看,显然指数就为\(f(d)\)

\[f(d)=\sum_{d|k}\mu(\frac{k}{d})\lfloor\frac{N}{k}\rfloor\lfloor\frac{M}{k}\rfloor
\]

更换求和指标,我们枚举\(\frac{k}{d}\)

\[\sum_{t=1}^n\mu(t)\lfloor\frac{N}{td}\rfloor\lfloor\frac{M}{td}\rfloor
\]

这就差不多了,我们带回初始柿子。


\[Ans=\prod_{d=1}^Nf(d)^{\sum_{t=1}^n\mu(t)\lfloor\frac{N}{td}\rfloor\lfloor\frac{M}{td}\rfloor}
\]

考虑把这个\(\sum\)拽下来(为什么能这么做呢,因为你考虑,\(a^{x+y}=a^x\times a^y\),所以这个\(sigma\)拽下来也没啥影响

\[Ans=\prod_{d=1}^N\prod_{t=1}^{\frac{n}{d}}f(d)^{\mu(t)\lfloor\frac{N}{td}\rfloor\lfloor\frac{M}{td}\rfloor}
\]

更换下求和指标,我们枚举\(td=T\)

\[\prod_{T=1}^N\prod_{t|T}f(t)^{\mu(\frac{T}{t})\lfloor\frac{N}{T}\rfloor\lfloor\frac{M}{T}\rfloor}
\]

发现这个大概可能是整出分块,但是中间的东西比较棘手,我们把一些东西提出来

\[\prod_{t|T}f(t)^{\mu(\frac{T}{t})}
\]

发现这个东西没法线筛,那我们直接暴力算他,每一次计算为\(log_n\),把这块东西叫做\(g(t)\)

就有

\[\prod_{T=1}^N g(T)^{\lfloor\frac{N}{T}\rfloor\lfloor\frac{M}{T}\rfloor}
\]


这个东西就可以\(O(n)\)的做了,但是该死的出题人还有多组数据,考虑整除分块

发现我们可以预处理\(g(T)\)的前缀积,用\(\frac{P[r]}{P[l-1]}\)就能求出区间积了

注意有取模,\(\mu\)的取值可能有\(-1\),所以要预先求出\(f(t)\)的逆元,整除分块的时候也要求出\(P[l-1]\)的逆元

细节方面关于\(exp\)的参数一定要用\(long long\),因为\(\lfloor\frac{N}{T}\rfloor\lfloor\frac{M}{T}\rfloor\)这个会爆\(int\)

而且洛谷这样的不会显示\(RE\),而是\(MLE\)(手动黑人问号脸),就很难搞


上代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int Mod=1000000007,
maxn=1000010;
typedef long long LL;
int n,m;
LL ans; LL exp(LL b,LL p){
if (p==1) return b%Mod;
LL temp=exp(b,p>>1);
temp=(LL)(temp*temp)%Mod;
if (p&1) temp=((LL)temp*(b%Mod))%Mod;
return temp;
} int mu[maxn],vis[maxn],pri[maxn];
LL f[maxn],F[maxn];//f->fibonaci; F:f & Mod _ Ni Yuan
int cnt=0; inline void getmiu(LL n){
mu[1]=1;vis[1]=1;F[1]=1;cnt=0;
f[0]=0;f[1]=1;
for (int i=2;i<=n;i++){
f[i]=(f[i-1]+f[i-2])%Mod;
F[i]=exp(f[i],Mod-2);
if (!vis[i]){
mu[i]=-1;
pri[++cnt]=i;
}
for (int j=1;j<=cnt&(LL)i*pri[j]<=n;j++){
vis[i*pri[j]]=1;
if (i%pri[j]==0) break;
else mu[i*pri[j]]=-mu[i];
}
}
} inline int read()
{
char s;
int k=0,base=1;
while((s=getchar())!='-'&&s!=EOF&&!(isdigit(s)));
if(s==EOF)exit(0);
if(s=='-')base=-1,s=getchar();
while(isdigit(s)){k=k*10+(s^'0');s=getchar();}
return k*base;
} LL g[maxn];//g[T]=\prod _{t|T}f(t)^{\mu(\frac{T}{t})}
inline void solve(LL n){
for (int i=0;i<=n;i++) g[i]=1;
for (int i=1;i<=n;i++){
for (int j=i;j<=n;j+=i){//枚举i的倍数
if (!mu[j/i]) continue;
if (mu[j/i]==1) g[j]=(LL)g[j]*f[i]%Mod;
else if (mu[j/i]==-1) g[j]=(LL)g[j]*F[i]%Mod;
}
}
//for (LL i=1;i<=100;i++) prLLf("%d %d %d\n",f[i],F[i],g[i]);
for (int i=2;i<=n;i++) g[i]=(LL)g[i-1]*g[i]%Mod;
} int main(){
int t=read();
getmiu(1000000);
solve(1000000);
//for (LL i=1;i<=100;i++) prLLf("%d\n",g[i]);
while (t--){
n=read();m=read();
ans=1;
for (int l=1,r;l<=min(n,m);l=r+1){
r=min(n/(n/l),m/(m/l));
LL delta=g[r]*exp(g[l-1],Mod-2)%Mod;
ans=(LL)ans*exp(delta,(LL)(n/l)*(m/l))%Mod;
}
printf("%lld\n",ans);
}
}

[洛谷]P3704-数字表格的更多相关文章

  1. bzoj 4816: 洛谷 P3704: [SDOI2017]数字表格

    洛谷很早以前就写过了,今天交到bzoj发现TLE了. 检查了一下发现自己复杂度是错的. 题目传送门:洛谷P3704. 题意简述: 求 \(\prod_{i=1}^{N}\prod_{j=1}^{M}F ...

  2. 洛谷P1118 数字三角形游戏

    洛谷1118 数字三角形游戏 题目描述 有这么一个游戏: 写出一个1-N的排列a[i],然后每次将相邻两个数相加,构成新的序列,再对新序列进行这样的操作,显然每次构成的序列都比上一次的序列长度少1,直 ...

  3. 洛谷P1553 数字翻转(升级版)

    题目链接 https://www.luogu.org/problemnew/show/P1553 题目描述 给定一个数,请将该数各个位上数字反转得到一个新数. 这次与NOIp2011普及组第一题不同的 ...

  4. 洛谷 P5660 数字游戏 & [NOIP2019普及组]

    传送门 洛谷改域名了QAQ 解题思路 没什么好说的,一道红题,本不想发这篇博客 ,但还是尊重一下CCF吧QAQ,怎么说也是第一年CSP呢! 用getchar一个个读入.判断.累加,最后输出即可. 不过 ...

  5. 洛谷P3704 [SDOI2017]数字表格

    题目描述 Doris刚刚学习了fibonacci数列.用f[i]f[i] 表示数列的第ii 项,那么 f[0]=0f[0]=0 ,f[1]=1f[1]=1 , f[n]=f[n-1]+f[n-2],n ...

  6. 洛谷 P3704 [SDOI2017]数字表格(莫比乌斯函数)

    题面传送门 题意: 求 \[\prod\limits_{i=1}^n\prod\limits_{j=1}^mfib_{\gcd(i,j)} \] \(T\) 组测试数据,\(1 \leq T \leq ...

  7. 洛谷P3704 [SDOI2017]数字表格(莫比乌斯反演)

    传送门 yyb大佬太强啦…… 感觉还是有一点地方没有搞懂orz //minamoto #include<cstdio> #include<iostream> #include& ...

  8. 洛谷 P3704 SDOI2017 数字表格

    题意: 给定两个整数 \(n, m\),求: \[\prod_{i = 1} ^ n \prod_{j = 1} ^ m \operatorname{Fib}_{\gcd\left(n, m\righ ...

  9. 洛谷 P1118 数字三角形游戏 Label:dfs

    题目描述 有这么一个游戏: 写出一个1-N的排列a[i],然后每次将相邻两个数相加,构成新的序列,再对新序列进行这样的操作,显然每次构成的序列都比上一次的序列长度少1,直到只剩下一个数字位置.下面是一 ...

随机推荐

  1. C#学习笔记7

    1.重写GetHashCode方法注意点: (1)重写GetHashCode方法,也应重写Equals方法,否者编译器会警告. (2)相等的对象必须有相等的散列码(若a.Equals(b),则a.Ge ...

  2. DOM 和 BOM

    DOM 和  BOM DOM: DOM= Document Object Model,文档对象模型,DOM可以以一种独立于平台和语言的方式访问和修改一个文档的内容和结构.换句话说,这是表示和处理一个H ...

  3. Css:Conditional comments 条件注释

    http://msdn.microsoft.com/en-us/library/ms537512(VS.85).aspx http://www.quirksmode.org/css/condcom.h ...

  4. PLC-Heart

  5. Android照片库选择图片裁剪闪退(兼容小米以及7.0以上机型)

    未经允许,禁止

  6. nagios外部命令接口

    http://nagios.manubulon.com/traduction/docs14en/extcommands.html https://old.nagios.org/developerinf ...

  7. SQL Server ->> 建立linked server到Azure SQL Server

    EXEC master.dbo.sp_addlinkedserver @server = N'<nick_name_to_use>', @srvproduct=N'', @provider ...

  8. MySQL几个join

    1.因为关系型数据库的基本原理,是基于“关系代数”.最重要的一类关系代数,就是2个集合之间的运算. 从集合运算的视角,去理解SQL中的几个常用join (1)inner join (2)left jo ...

  9. dedecms 权重排序问题

    isweight='y' orderway='asc'  orderby='weight'  依次进入根目录>dede 找到打开文件 album_edit.php   //找到更新数据库的SQL ...

  10. python中的 if __name__ == “__main__”: 有什么用

    https://stackoverflow.com/questions/419163/what-does-if-name-main-do# 问题: What does if name == " ...