[洛谷]P3704-数字表格

[洛谷]P3704-数字表格

妙啊，这又是一道反演题，而且个人感觉比较高级

传送门

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大意

在\(N\times M\)的数表\(a\)中，\(a_{i,j}\)表示f((i,j))，其中\((i,j)\)表示\(i\)和\(j\)的最大公约数,\(f\)为\(fibnaci\)数列

求$$\prod_{i=1}^N\prod_{j=1}M a_{i,j}$$

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那么显然这又是一个褪柿子的题QwQ，于是我们可以开心的推这个奇怪的柿子

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为了便于书写，我们令\(N<=M\)

\[\prod_{i=1}^N\prod_{j=1}^M\prod_{d=1}^N[(i,j)==d]f(d)
\]

稍微换下位置，有

\[\prod_{d=1}^Nf(d)\prod_{i=1}^N\prod_{j=1}^M[(i,j)==d]
\]

也就是说\(f(d)\)被乘了后面这么多次

\[\prod_{d=1}^Nf(d)^{\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^M[(i,j)==d]}
\]

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指数上的柿子是个非常经典了老问题了，我们小小的复习一下

令$$f(d)={\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}M[(i,j)==d]}$$

这里的\(f(d)\)与原问题中的\(f\)不重合，只是我们中间推理用的字母。

设$$F(n)=\sum_{n|d} f(d)$$，则有

\[F(n)=\lfloor\frac{N}{n}\rfloor\lfloor\frac{M}{n}\rfloor
\]

反演一下

\[f(n)=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})F(d)
\]

往一开始的柿子上看，显然指数就为\(f(d)\)

\[f(d)=\sum_{d|k}\mu(\frac{k}{d})\lfloor\frac{N}{k}\rfloor\lfloor\frac{M}{k}\rfloor
\]

更换求和指标，我们枚举\(\frac{k}{d}\)

\[\sum_{t=1}^n\mu(t)\lfloor\frac{N}{td}\rfloor\lfloor\frac{M}{td}\rfloor
\]

这就差不多了，我们带回初始柿子。

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\[Ans=\prod_{d=1}^Nf(d)^{\sum_{t=1}^n\mu(t)\lfloor\frac{N}{td}\rfloor\lfloor\frac{M}{td}\rfloor}
\]

考虑把这个\(\sum\)拽下来（为什么能这么做呢，因为你考虑，\(a^{x+y}=a^x\times a^y\)，所以这个\(sigma\)拽下来也没啥影响

\[Ans=\prod_{d=1}^N\prod_{t=1}^{\frac{n}{d}}f(d)^{\mu(t)\lfloor\frac{N}{td}\rfloor\lfloor\frac{M}{td}\rfloor}
\]

更换下求和指标，我们枚举\(td=T\)

\[\prod_{T=1}^N\prod_{t|T}f(t)^{\mu(\frac{T}{t})\lfloor\frac{N}{T}\rfloor\lfloor\frac{M}{T}\rfloor}
\]

发现这个大概可能是整出分块，但是中间的东西比较棘手，我们把一些东西提出来

\[\prod_{t|T}f(t)^{\mu(\frac{T}{t})}
\]

发现这个东西没法线筛，那我们直接暴力算他，每一次计算为\(log_n\)，把这块东西叫做\(g(t)\)

就有

\[\prod_{T=1}^N g(T)^{\lfloor\frac{N}{T}\rfloor\lfloor\frac{M}{T}\rfloor}
\]

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这个东西就可以\(O(n)\)的做了，但是该死的出题人还有多组数据，考虑整除分块

发现我们可以预处理\(g(T)\)的前缀积，用\(\frac{P[r]}{P[l-1]}\)就能求出区间积了

注意有取模，\(\mu\)的取值可能有\(-1\)，所以要预先求出\(f(t)\)的逆元，整除分块的时候也要求出\(P[l-1]\)的逆元

细节方面关于\(exp\)的参数一定要用\(long long\)，因为\(\lfloor\frac{N}{T}\rfloor\lfloor\frac{M}{T}\rfloor\)这个会爆\(int\)

而且洛谷这样的不会显示\(RE\)，而是\(MLE\)(手动黑人问号脸)，就很难搞

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上代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int Mod=1000000007,
		  maxn=1000010;
typedef long long LL;
int n,m;
LL ans;

LL exp(LL b,LL p){
	if (p==1) return b%Mod;
	LL temp=exp(b,p>>1);
	temp=(LL)(temp*temp)%Mod;
	if (p&1) temp=((LL)temp*(b%Mod))%Mod;
	return temp;
}

int mu[maxn],vis[maxn],pri[maxn];
LL f[maxn],F[maxn];//f->fibonaci;    F:f & Mod _ Ni Yuan
int cnt=0;

inline void getmiu(LL n){
	mu[1]=1;vis[1]=1;F[1]=1;cnt=0;
	f[0]=0;f[1]=1;
	for (int i=2;i<=n;i++){
		f[i]=(f[i-1]+f[i-2])%Mod;
		F[i]=exp(f[i],Mod-2);
		if (!vis[i]){
			mu[i]=-1;
			pri[++cnt]=i;
		}
		for (int j=1;j<=cnt&(LL)i*pri[j]<=n;j++){
			vis[i*pri[j]]=1;
			if (i%pri[j]==0) break;
			else mu[i*pri[j]]=-mu[i];
		}
	}
}

inline int read()
{
    char s;
    int k=0,base=1;
    while((s=getchar())!='-'&&s!=EOF&&!(isdigit(s)));
    if(s==EOF)exit(0);
    if(s=='-')base=-1,s=getchar();
    while(isdigit(s)){k=k*10+(s^'0');s=getchar();}
    return k*base;
}

LL g[maxn];//g[T]=\prod _{t|T}f(t)^{\mu(\frac{T}{t})}
inline void solve(LL n){
	for (int i=0;i<=n;i++) g[i]=1;
	for (int i=1;i<=n;i++){
		for (int j=i;j<=n;j+=i){//枚举i的倍数
			if (!mu[j/i]) continue;
			if (mu[j/i]==1) g[j]=(LL)g[j]*f[i]%Mod;
			else if (mu[j/i]==-1) g[j]=(LL)g[j]*F[i]%Mod;
		}
	}
	//for (LL i=1;i<=100;i++) prLLf("%d %d %d\n",f[i],F[i],g[i]);
	for (int i=2;i<=n;i++) g[i]=(LL)g[i-1]*g[i]%Mod;
}

int main(){
	int t=read();
	getmiu(1000000);
	solve(1000000);
	//for (LL i=1;i<=100;i++) prLLf("%d\n",g[i]);
	while (t--){
		n=read();m=read();
		ans=1;
		for (int l=1,r;l<=min(n,m);l=r+1){
			r=min(n/(n/l),m/(m/l));
			LL delta=g[r]*exp(g[l-1],Mod-2)%Mod;
			ans=(LL)ans*exp(delta,(LL)(n/l)*(m/l))%Mod;
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
}