HDU 3364 Lanterns (高斯消元)
析:同余高斯消元法,模板题,将每个开关控制每个灯列成行列式,最终状态是结果列,同余高斯消元,如果无解就是0,否则结果就是1<<(自由变元的个数);
代码如下:
#include<stdio.h> #include<algorithm> #include<iostream> #include<string.h> #include<math.h> using namespace std; const int maxn = 110; const int mod = 2; int a[maxn][maxn];//增广矩阵 int b[maxn][maxn]; int x[maxn];//解集 bool free_x[maxn];//标记是否是不确定的变元 int gcd(int a,int b) { return a == 0?b:gcd(b%a,a); } int lcm(int a,int b) { return a*b/gcd(a,b);//先除后乘防溢出 } // 高斯消元法解方程组(Gauss-Jordan elimination).(-2表示有浮点数解,但无整数解, //-1表示无解,0表示唯一解,大于0表示无穷解,并返回自由变元的个数) //有equ个方程,var个变元。增广矩阵行数为equ,分别为0到equ-1,列数为var+1,分别为0到var. int Gauss(int equ,int var) { int i,j,k; int max_r;// 当前这列绝对值最大的行. int col;//当前处理的列 int ta,tb; int LCM; int temp; int free_x_num; int free_index; // for(int i=0;i<=var;i++) // { // x[i]=0; // free_x[i]=true; // } //转换为阶梯阵. col=0; // 当前处理的列 for(k = 0;k < equ && col < var;k++,col++) {// 枚举当前处理的行. // 找到该col列元素绝对值最大的那行与第k行交换.(为了在除法时减小误差) max_r=k; for(i=k+1;i<equ;i++) { if(abs(a[i][col])>abs(a[max_r][col])) max_r=i; } if(max_r!=k) {// 与第k行交换. for(j=k;j<var+1;j++) swap(a[k][j],a[max_r][j]); } if(a[k][col]==0) {// 说明该col列第k行以下全是0了,则处理当前行的下一列. k--; continue; } for(i=k+1;i<equ;i++) {// 枚举要删去的行. if(a[i][col]) { LCM = lcm(abs(a[i][col]),abs(a[k][col])); ta = LCM/abs(a[i][col]); tb = LCM/abs(a[k][col]); if(a[i][col]*a[k][col]<0)tb=-tb;//异号的情况是相加 for(j=col;j<var+1;j++) { a[i][j] = ((a[i][j]*ta-a[k][j]*tb)%mod+mod)%mod;//如果不是同模取余则改为a[i][j] = (a[i][j]*ta-a[k][j]*tb; } } } } // 1. 无解的情况: 化简的增广阵中存在(0, 0, ..., a)这样的行(a != 0). for (i = k; i < equ; i++) { // 对于无穷解来说,如果要判断哪些是自由变元,那么初等行变换中的交换就会影响,则要记录交换. if (a[i][col]) return -1; } // 2. 无穷解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中出现(0, 0, ..., 0)这样的行,即说明没有形成严格的上三角阵. // 且出现的行数即为自由变元的个数. if (k < var) { //首先,自由变元有var - k个,即不确定的变元至少有var - k个. // for (i = k - 1; i >= 0; i--) // { // // 第i行一定不会是(0, 0, ..., 0)的情况,因为这样的行是在第k行到第equ行. // // 同样,第i行一定不会是(0, 0, ..., a), a != 0的情况,这样的无解的. // free_x_num = 0; // 用于判断该行中的不确定的变元的个数,如果超过1个,则无法求解,它们仍然为不确定的变元. // for (j = 0; j < var; j++) // { // if (a[i][j] != 0 && free_x[j]) free_x_num++, free_index = j; // } // if (free_x_num > 1) continue; // 无法求解出确定的变元. // // 说明就只有一个不确定的变元free_index,那么可以求解出该变元,且该变元是确定的. // temp = a[i][var]; // for (j = 0; j < var; j++) // { // if (a[i][j] != 0 && j != free_index) temp -= a[i][j] * x[j]; // } // x[free_index] = temp / a[i][free_index]; // 求出该变元. // free_x[free_index] = 0; // 该变元是确定的. // } return var - k; // 自由变元有var - k个. } // 3. 唯一解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中形成严格的上三角阵. // 计算出Xn-1, Xn-2 ... X0. //需要解得时候就用下面的循环来解。 // for (i = var - 1; i >= 0; i--) // { // temp = a[i][var]; // for (j = i + 1; j < var; j++) // { // if (a[i][j] != 0) temp = ((temp - a[i][j]*x[j])%mod+mod)%mod;//temp -= a[i][j] * x[j]; // } // while(temp % a[i][i] != 0) temp+=mod;//如果不是同模取余,则temp % a[i][i] != 0时产生浮点数解 // x[i] = (temp / a[i][i])%mod; // if(x[i]<0)x[i]+=mod; // } return 0; } int main() { int i, j; int n,m,var; int t,kase = 1; scanf("%d",&t); while (t--) { memset(b,0,sizeof(b)); scanf("%d%d", &n, &var); for(int i = 0;i < var;i++) { int num; scanf("%d",&num); for(int j = 0;j < num;j++) { int nn; scanf("%d",&nn); b[nn-1][i] = 1; } } scanf("%d",&m); printf("Case %d:\n",kase++); while(m--) { memcpy(a,b,sizeof(b)); for(int i = 0;i < n;i++) { scanf("%d",&a[i][var]); } int ans = Gauss(n,var); if(ans == -1) printf("0\n"); else if(ans == 0) printf("1\n"); else printf("%I64d\n",1LL<<ans); } } return 0; }
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