【bzoj1057】棋盘制作

题意

给定\(n*m\)的棋盘，每个格子有0或1其中的一种颜色。

求一个最大的正方形，满足正方形内0和1相互间隔。

求一个最大的矩形，满足矩形内0和1相互间隔。

\(n,m\leq 2000\)

分析

这是个棋盘，满足相邻两个颜色不同。

我们不难想到对于一个格子\((i,j)\)，若\((i+j)\mod 2=1\)，那么把\((i,j)\)这个格子的颜色取反。

原问题就变成了求最大相同颜色正方形和最大相同颜色矩形。

只要能解决最大相同颜色矩形，那么正方形的问题也可以用类似的方法解决，所以问题转化为求最大相同颜色矩形。

这是个二维的问题，我们先考虑一维的问题怎样解决：

给定\(c[i]\)，求最长一段\([l,r]\)，使得\(c[l]=c[l+1]=...=c[r]\)

这是个经典的最大子段问题，我们可以通过贪心求出，对于每个位置求出\(ex[i]\)，表示最大的\(ex\)，满足\(c[i]=c[i+1]=...=c[i+ex[i]-1]\)

在二维上，我们对于每一行，预处理出\(ex[i][j]\)：在第\(i\)行上，最大的\(ex\)，使得\(c[i][j]=c[i][j+1]=...=c[i][j+ex-1]\)

那么，一种直观的想法：我们枚举每一个左上角的位置\((i,j)\)，枚举纵向向下伸长到\(k\)，那么长度为\(w=\min(ex[i][j],ex[i+1][j],...,ex[k][j])\)，用\(w*k\)更新答案。

即求：\(\max_{1\leq i\leq m,1\leq j\leq k\leq n}(k-j+1)*(\min_{p=j}^k ex[i][p])\)

但是，这是\(O(n^3)\)的...

我们考虑能否继续优化，即减少枚举量。

思考这样一条性质：\(\min_{p=j}^k ex[i][p]\)必然等于某个\(ex\)。

所以我们枚举\(ex[i][p]\)，然后看它最多能向上伸展多少，最多能向下伸展多少，用\(ex[i][p]*len\)即可。

所以只需要快速处理出最多向上伸展多少，向下伸展多少即可。

用单调队列+二分或者ST表可以轻松解决。

小结

（1）最值问题的处理手段

这种东西从今天开始正式被我废除掉了。

并没有什么用。

（2）枚举超时可能会出现在两个问题上：①枚举量过大 ②统计枚举的方法不够优

为此，我们可以有两种考虑方法：

①极大化思想：减少枚举量，找出不可能的满足什么条件，进而可能的满足什么条件

②使用各种数据结构或者算法进行优化

（3）棋盘问题

棋盘问题要明确几个基本的模型和思路。

①染色法

②插头dp，状态压缩dp

③处理处第一行，推出之后的情况

④爆搜

⑤网络流