离散傅里叶变换DFT入门

网上对于傅里叶变换相关的文章很多（足够多），有的是从物理相关角度入场，有的从数学分析角度入场。对于有志学习相关概念的同学还是能够很好的理解的。

数学包括三大块：代数学、几何、数学分析。前两块我们在中学阶段一直在用，数学分析（非数学专业以高等数学入门）在大学开始接触

本文从更简单（最简单）的解析几何角度尝试讲一点DFT的入门概念。

解析几何就是把几何用代数学表示，引入了平面直角坐标系，是高中数学的主要部分

一、复数和单位复数根

复数我们在高中已经接触过了。当时为了强调二次方程一定有两个根（而不是更多或更少），引入了虚数单位\(i\)，它是-1的平方根：

但实际上反过来不成立，也就是说-1的平方根并不只是\(i\)。想一下为什么？

这样类似于\(2+3i\)这样的_表示_就叫“复数”。其中\(2\)是实部，\(3\)是虚部（注意虚部不是\(3i\)，因为\(i\)只是一种约定俗成的字母，实际可以用任何字母。甚至用有序实数对_表示_复数的时候完全不用引入字母）。

这里我们多次使用表示来说复数，是因为复数实际真的不是数（虽然说它是对实数系的扩充）。数的作用是“计数”，要能够比较大小。实数以后的数系都不再能比较了。只是在生产过程中，新的数系能把事情解释的更明白。而且对比来讲，实数上面的运算只是高等数系的一种特殊情况，复数的各种规律依然完全适用于实数。这样看来，用来计数的实数反而是自然界的“副产品”

有了复数概念，我们就可以说n次方程有且只有n个（复数）根。比如：有4个根。除了我们一眼看出的熟悉的正负1，还有两个虚数根：正负i。

单位复数根就是这么来的：方程的n个根就叫n次单位复根。

二、与复平面的关系

复平面可以理解为中学的平面直角坐标系，只不过横轴变成了实数轴，纵轴变成了虚数轴。

上图中横轴是实轴，纵轴是虚轴。单位圆与横轴的两个交点左右分别是-1，1；与纵轴的两个交点上下分别是i，-i。

上面提到的4次方程的4个根就是四次单位复根。从复平面看就是：第一个根从原点向实轴正向交于1（任意次单位复根第一个根都是1对吧？），第二个逆时针（或者说正向）转90度（因为3604）到了i，再转90度是第三个根-1，继续转是最后一个-i。

再比如，的8个八次单位复数根同理可知，分别是或者用三角函数表示

实际上，每次转动的角度确定以后（这个角度很好算，就是360除以次数，比如8次的就是360/8=45度，对应弧度π/4）,第k个根（k从0开始到n-1）就是

可以自行验证。

三、离散傅里叶变换

有了上面的基础知识，我们来定义离散傅里叶变换。

设有向量

对于每一个下标\(j=0,1,...,n-1\)，重新计算一个值：

其中\(w_n^j\)是n次单位复根中的第\(j\)个。

这样，离散傅里叶变换就是下面这个向量：

四、练习

请计算向量\(\left[\begin{array}{cccccc}
0&1& 2&3
\end{array}\right]^T\)的DFT。