SDU暑期集训排位（4）

SDU暑期集训排位（4）

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C. Pick Your Team

题意 有 \(n\) 个人，每个人有能力值，A 和 B 轮流选人，A 先选，B 选人按照一种给出的优先级，
A 可以随便选。A 想最大化己方能力值。

做法

• 划分方案合法的充要条件：任何前缀中，\(被 B 选择的人 - 被 A 选择的人 > -1\)
• 考虑 DP，\(dp[i][j]\) 表示考虑前 \(i\) 个人，\(j\) 个人被 B 选择了，A 和 B 最大分差。
• 考虑转移，枚举 \(i+1\) 个人归属即可。

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D. Piece of Cake

题意 一个凸多边形上随机选k个顶点，求构成的凸多边形的面积的期望
做法

• 看成总面积减去一些由连续的几个点组成的多边形的面积
• 由x个点组成的多边形被减去的概率为\(\frac{C_{n-x}^{k-2}}{C_n^k}\)
• 这个概率要先约一约再算，而且要乘除交替计算，否则会爆精度
• 没注意复杂度T两发实属智障

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E.Busy Board

题意 砸

做法

各种特判套在一起就行了，无法用语言描述

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F. It's a Mod, Mod, Mod, Mod World

题意 求 \(\sum_{i=1}^{n}[pi\%q]\)

做法

• GCD 的经典应用。
• \(\sum_{i=1}^{n}[pi\%q] = \sum_{i=1}^{n} (pi-[\frac{pi}{q}]q)=(\sum_{i=1}^{n}pi)-q(\sum_{i=1}^{n}[\frac{pi}{q}])\)
• 只需求 \(f(n,p,q)=\sum_{i=1}^{n}[\frac{pi}{q}]\)
• 若 \(p\geq q\) 可递归到 \(f(n,p\%q,q)\)
• 若 \(p<q\) 可枚举 \(x\)，统计 \([\frac{pi}{q}]\geq x\) 的 \(i\) 方案数，即可交换 \(p,q\)
• 更详细介绍见2009年论文 金斌《欧几里得算法的应用》

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G.Monotony

题意 给定一个矩阵，问其有多少个子矩阵满足行列单调性

题解

• 枚举选哪些行
• 特判哪些列在选了这些行之后是合法的
• 考虑到，只选两列就能确定行的单调性，所以可以\(DP\)
• \(DP[mask][j]\) : 选了第\(j\)列，并且行的单调性为\(mask\)的方案数
• 然后枚举下一个\(k\),往后转移即可

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I.Intersecting Rectangles

题意 给定n个矩形，问是否有交

做法

• 扫描线
• 从小到大枚举横坐标，如果是矩形左边界，查询上下边界内是否有点被标记，有的话直接输出yes，否则把上下边界打上标记，如果是右边界，消去边界
• 然后交换x,y坐标，再来一次

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J. Cutting Strings

upsolved

题意 给一个字符串，可以截取下 \(k\) 段，使得字典序最大。

做法

• idea 比较简单，逐位考虑，我们先想让 'z' 字符的前缀尽可能长，以此为前提接下来想让之后的 'y' 尽可能长........
• 递归地求解 \(solve(pos,k,ch)\)，在 \(suffix(pos)\) 中，我们想构造尽可能长的 ch 前缀，至多可以切 \(k\) 刀。
  • 如果 s[pos] = ch，第一段连续的 ch 一定可以拿，我们可以递归到 \(solve(nex,k,ch)\),\(nex\) 为下一个不为 ch 的位置。
  • 否则，考虑连续的 ch 的段，设这些段分别为 \([l_1,r_1],[l_2,r_2]....[l_m,r_m]\)
    • 如果 \(k \geq m\)，那么这些 \(suffix(pos)\) 中所有的 \(ch\) 都可以加入到答案中，递归到 \(solve(r_m + 1, k-m, ch-1)\)
    • 否则，我们可以在这 \(m\) 段中，枚举最后一个区间的位置，堆维护前 \(k-1\) 大值，再枚举最后一个区间的位置，在可能成为答案的后缀中挑选字典序最大的即可。

code

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K. Subsequences in Substrings

做法 序列自动机，预处理位置 \(x\) 下一个字符 \(ch\) 在哪，枚举起点，然后往后跳。复杂度 \(O(|S|*|T|)\)

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M. XOR Sequences

upsolved
题意 给定\(p_0,p_1,...,p_{2^m-1}\)求有多少长度为n的序列\({x}\)满足\(p_i=argmax\ i⊕x_j\)
做法

• 考虑从顶向下建x的trie树
• 对于当前点，如果左树和右树的每个元素对应相等，那么只有左儿子或者只有右儿子，答案乘2，然后递归建左儿子或右儿子
• 不是对应相等的话说明既有左儿子又有右儿子，需要左树和右树的元素没有交集，然后递归建左儿子和右儿子
• 此题原榜过穿了，是个简单题，就是看起来很吓人
• 当时一看就没思路，其实算下样例也就会了

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