皮尔逊相似度计算的例子(R语言)

编译最近的协同过滤算法皮尔逊相似度计算。下顺便研究R简单使用的语言。概率统计知识。

一、概率论和统计学概念复习

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1）期望值（Expected Value）

由于这里每一个数都是等概率的。所以就当做是数组或向量中全部元素的平均数吧。能够使用R语言中函数mean()。

2）方差（Variance）

方差分为population variance整体方差和sample variance样本方差，差别是整体方差除以N，样本方差除以N-1。

数理统计中经常使用样本方差，R语言的var()函数计算的也是样本方差。

详细原因是样本方差是无偏的（Unbiased），想刨根问底能够Google一下。

3）标准差（Standard Variance）

非常easy。标准差就是方差的平方根。

R语言中函数为sd()。

4）协方差（Covariance）

，

也分成整体协方差和样本协方差，差别同上。

R语言中函数为cov()。注意向量中有空元素（NA）时，比如稀疏矩阵中的一行，则要cov(x,y, use='complete')。

方差也能够看做是协方差的特例。也就是：var(x)=cov(x,x)。

这里仅仅列举了计算公式。看着有些头晕，详细还是看以下样例吧。一看就懂了。

二、类似度计算在协同过滤推荐算法中的地位

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在协同过滤推荐算法中，无论是基于用户（User-based）还是基于物品（Item-based），都要通过计算用户或物品间的类似度，得到离线模型（训练学习过程）。

之后再利用排序和加权算法得到终于的推荐物品Top-N列表。

不同类似度算法的选择对终于推荐结果会产生非常大的影响。

1）余弦类似度（Cosine-based Similiarity）

2）相关性类似度（Correlation-based Similiarity）

这样的类似度计算使用的算法就是皮尔森。

3）修正余弦类似度（Adjusted Cosine-based Similiarity）

三、R语言入门简单介绍

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Windows下的R语言安装包地址为：http://cran.r-project.org/bin/windows/base/

下载exe后直接安装后，执行交互控制台就能够使用了。

经常使用的函数都能够从网上中查找到：http://jiaoyan.org/r/?page_id=4100

要习惯的一点是。R语言的表达方式，比如在控制台输入：

> x<-c(1:10)

> x-mean(x)
[1] -4.5 -3.5 -2.5 -1.5 -0.5  0.5  1.5  2.5  3.5  4.5

x-mean(x)的含义是都向量x中每一个元素都减去x的平均数mean(x)，能够说这样的表达方式高度抽象化。表现力非常强。

之后我们能够用其它函数对计算结果进行聚合：

> sum(x-mean(x))

[1] 0

四、皮尔森类似度(Pearson Similiarity)计算举例

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以下以还有一篇文章中的用户-物品关系为例，说明一下皮尔森类似度的计算过程。

皮尔森类似度的原始计算公式为： 

watermark/2/text/aHR0cDovL2Jsb2cuY3Nkbi5uZXQvZGNfNzI2/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70/gravity/SouthEast" alt="" />，不继续展开化简。

1）定义用户数组（向量）

user1<-c(5.0, 3.0, 2.5)

user5<-c(4.0, 3.0, 2.0)

2）计算方差

var(user1)=sum((user1-mean(user1))^2)/(3-1)=1.75

var(user2)=sum((user5-mean(user5))^2)/(3-1)=1

3）计算标准差

sd(user1)=sqrt(var(user1))=1.322876

sd(user5)=sqrt(var(user5))=1

4）计算协方差

cov(user1, user5)

=sum((user1-mean(user1))*(user5-mean(user5)))/(3-1)

=1.25

5）计算类似度

cor(user1, user5)

=cov(user1, user5) / (sd(user1)*(sd(user5)))

=0.9449112

五、数学特性和存在问题

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以下1）和2）整理自维基百科：

1）代数特性

皮尔逊相关系数的变化范围为-1到1。 系数的值为1意味着X 和 Y能够非常好的由直线方程来描写叙述。全部的数据点都非常好的落在一条 直线上，且 Y 随着 X 的添加而添加。

系数的值为−1意味着全部的数据点都落在直线上，且 Y 随着 X 的添加而降低。

系数的值为0意味着两个变量之间没有线性关系。

因两个变量的位置和尺度的变化并不会引起该系数的改变。即它该变化的不变量 (由符号确定)。

也就是说，我们假设把X移动到a + bX和把Y移动到c + dY，当中a、b、c和d是常数。

并不会改变两个变量的相关系数（该结论在整体和样本皮尔逊相关系数中都成立）。我们发现更一般的线性变换则会改变相关系数。

2）几何学含义

对于没有中心化的数据, 相关系数与两条可能的回归线y=gx(x) 和 x=gy(y) 夹角的余弦值一致。

对于中心化过的数据 (也就是说, 数据移动一个样本平均值以使其均值为0), 相关系数也能够被视作由两个随机变量 向量 夹角theta 的余弦值（见下方）。

3）存在问题

这也就是为什么会导致User1和User4更为类似的原因了，虽然User4仅仅对Item101和103评分，可是这两个评分形成的直线与User1形成的直线趋势更为接近。

同一时候还有一个问题是，假设一些几何变换不会影响相关系数，则评分的高低也被忽略掉了，仅仅是分数的趋潜在影响。当然，这是对于矩阵0和1用户-购买的物品矩阵没有效果。

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