IMU 标定 | 工业界和学术界有什么不同？

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本文主要介绍了IMU基本结构原理和误差的相关概念，IMU误差模型，并较详细介绍了商用产品和学术文献提到的两种IMU标定方法。
本文阅读时间约8分钟

了解IMU和误差

IMU（Inertial Measurement Unit）是测量运动物体惯性运动，输出三轴加速度和三轴角速度等信息的电子元件，用于姿态角和运动路径等测量。IMU常常还包含了磁力计、压力计、温度计和GPS等辅助单元，相互配合完成更复杂的任务。

IMU的应用广泛。放图说明，姿态角确定，惯性导航，SLAM，动作捕捉，无人机镜头防抖（实现鸡头类似的效果）

六轴IMU的结构如下图，坐标轴一般遵循右手定则，理想情况下XYZ轴相互正交，加速度计和陀螺仪的轴相互重合。但是通常情况下，IMU存在一定的偏差。例如，从Inven Sense的MPU-9250芯片内部结构图可以看到该加速度计（XY、Z轴）和陀螺仪分开制造，因此加速度计和陀螺仪的坐标轴中心并不严格重合，甚至加速度计不同轴也是分开加工，坐标轴也不能保证完全正交。而且，加工过程或多或少有误差，如对称度不好，产生零偏。另外，IMU的内部参数还会随时间、温度变化，产生温漂。

IMU出厂时存在参数误差不可避免，而参数误差常常会造成严重问题：

偏置异常，会造成数据漂移严重。
轴向正交性和尺度异常，x-,y-,z-轴不正交或尺度不一致，会造成同一失量的模在不同方向上不一致。
另外，噪声也会使测量值失真。

IMU误差模型

IMU中x-y-z轴的偏置误差$\mathbf{b}^a$可以表示为不同轴的零点偏置，即
\[
\mathbf{b}^a = \begin{bmatrix}
b_x \\
b_y \\
b_z \\
\end{bmatrix}
\]
IMU中x-y-z轴的正交误差$\mathbf{T}^a $和尺度误差$\mathbf{K}^a $可以通过下图表示。$\mathbf{x}^B$-$\mathbf{y}^B$-$\mathbf{z}^B$为外部坐标系正交归一的三个轴（可以理解为$ |\mathbf{x}^B| = 1$，$ |\mathbf{y}^B| = 1$，$ |\mathbf{z}^B| = 1$），而 $\mathbf{x}^S$ 表示传感器x轴的放大系数（相比$\mathbf{x}^B$），$\beta_{\mathbf{x}\mathbf{y}}$ 表示x轴在x-y平面内顺时针偏离了$\beta_{\mathbf{x}\mathbf{y}}$弧度（小角度近似），其他参数同理。

正交误差$\mathbf{T}^a$ 通常可以表示为
\[
\mathbf{T}^a = \begin{bmatrix}
1 & -\beta_{\mathbf{y}\mathbf{z}} & \beta_{\mathbf{z}\mathbf{y}} \\
\beta_{\mathbf{x}\mathbf{z}} & 1 & -\beta_{\mathbf{z}\mathbf{x}} \\
-\beta_{\mathbf{x}\mathbf{y}} & \beta_{\mathbf{y}\mathbf{x}} & 1 \\
\end{bmatrix}
\]
尺度误差$\mathbf{K}^a$ 通常可以表示为
\[
\mathbf{K}^a = \begin{bmatrix}
\mathbf{x}^S & 0 & 0 \\
0 & \mathbf{y}^S & 0 \\
0 & 0 & \mathbf{z}^S \\
\end{bmatrix}
\]
在忽略噪声误差的条件下，加速度计的偏置误差$\mathbf{b}^a$、正交误差$\mathbf{T}^a $和尺度误差$\mathbf{K}^a$的模型可以表示为
\[
\mathbf{a}^O = \mathbf{T}^a \mathbf{K}^a
\begin{pmatrix} \mathbf{a}^S + \mathbf{b}^a \end{pmatrix}
\]
其中$\mathbf{a}^S$是加速度计的原始测量值，$\mathbf{a}^O$是加速度计误差补偿后的值。同理，陀螺的误差模型可以表示为
\[
\mathbf{\omega}^O = \mathbf{T}^g \mathbf{K}^g
\begin{pmatrix} \mathbf{\omega}^S + \mathbf{b}^g \end{pmatrix}
\]
其中$\mathbf{\omega}^S$是陀螺的原始测量值，$\mathbf{\omega}^O$是陀螺误差补偿后的值。

较方便的标定方法

在看严谨的标定操作之前，看一下商用产品大疆Spark无人机的标定流程：

官方给的方法是在水平面上，按照图片提示六个位置静止放置片刻，即自动得到标定参数。由于重力方向和大小不变，这六个位置分别（近似）是IMU的X、-X、Y、-Y、Z和-Z朝向下的方向，因此至少可以拟合出加速度计三个轴的尺度因子、偏置以及陀螺仪的偏置。该标定方法有以下的假设

重力不变且垂直向下。
保持静止，可以测量陀螺仪的偏置。

对于外行人这样的标定流程简洁、快捷，适合商用级产品，但是由于标定数据太少，标定误差会较大，不利于高精度测量和导航应用，如SLAM等。

更精确标定方法

为了更深入了解标定原理过程，文献A robust and easy to implement method for IMU calibration without external equipments 给出了一种更为精确的IMU标定方法，GitHub上也有相应的Matlab源代码实现，亲试可用，还有动态演示效果不错。相比商用产品的简易标定流程，该标定方法有以下几点不同：

给出了加速度计和陀螺仪更复杂的模型。
利用Allan方差的定义，标定陀螺仪的偏置。
大量冗余数据，保证最优化收敛。利用数十次测量数据而不是仅仅6个位置。
利用Runge-Kutta积分和四元数表示法，实现陀螺仪的轴向偏差和尺度因子的标定。

标定流程图：

标定首先通过Allan方差定义测试出IMU标定静止的时间T，等待T时间后，旋转IMU并静止，静止时获取加速度数据，旋转时获取陀螺数据，循环多次后（36-50次）完成标定操作，随后算法自动完成标定。

算法首先标定加速度计，利用加速度计测量值的模和重力加速度真实g的方差构建损失函数，利用LM算法，使得最优化快速收敛，得到$\mathbf{b}^a$、$\mathbf{T}^a $和$\mathbf{K}^a$ 参数。

在标定完加速度计的基础上，标定陀螺，获得陀螺坐标相对于加速度计参考坐标的正交误差，最后偏置和尺度误差也能通过最优化算法求出。此处有一个处理的小技巧，利用四元数的超复数表示方法，可以通过积分的办法，方便地求出一个时序角速度产生的总的角度变化，并利用加速度计得到的角度和积分得出的角度比较，得到损失函数，并同样用LM算法求出陀螺的误差参数。

实际标定操作和算法处理过程中，有几点很重要。

1、和深度学习训练样本一样，IMU标定的最优化过程也需要样本的平衡性。和复杂一些的非线性最优化类似，IMU参数标定算法一般也是基于Levenberg–Marquardt参数算法的拟合算法。而旋转操作可以让IMU数据（如加速度计）在三维数据空间中形成椭球形，数据均匀分布在椭球面上能够避免某一轴向的拟合权重过大，造成拟合椭球变形。

2、传感器对温度敏感（特别是陀螺仪），因此在没有温度计并且温度补偿的条件下，保证IMU的热平衡很重要。陀螺仪除了零点偏置，还有零点偏置漂移等更多误差，因此动态调节。

3、对加速度数据积分的起点和终点很关键。由于是人为转动IMU产生的抖动比较严重，因此转动的开始和结束不是很清晰，可以通过滤波减少积分误差。

4、标定器材配套很重要。手持式标定会引入人为振动，因此最好为IMU设计相应稳定可靠的标定装置，比如具有类似地球仪的旋转结构，并且带有刻度、有水平仪的仪器，这样能够实现垂直状态和特定角度转动。

5、利用Allan方差定义，可得到等待时间。但仍然存在问题，不同轴陀螺的Allan方差不一样，甚至可能差别很大。

6、IMU的坐标绝对基准还是不能标定得到。

以上两种方法制作的轻量级标定工具适用于一般的研究或产品，但对于一些高性能传感器，它们自身误差甚至小于标定参数精度，以上标定方法不再适用。需要很多价格不菲的精密仪器去标定，即提供绝对基准。