LOJ 6192 城市网络（树上倍增）

LOJ #6192. 「美团 CodeM 复赛」城市网络（链接）

一棵以 $ 1 $ 号节点为根的树，每个点有一个权值，有 $ q $ 个询问，每次从 $ x $ 点开始往某个祖先 $ y $ 走，初始有权值 $ c $ ，如果路径上遇到更大的权值，那么 $ c $ 改为那个权值，问会修改多少次。数据范围： $ n\leq 2\times 10^5 $

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$ solution: $

首先因为本题没有修改操作，所以可以离线维护。然后我们发现如果我们在 $ x $ 处节点被修改权值，那么问题从这个节点开始就等效于：从 $ x $ 节点以其本身权值为初始权值向根节点走。然后此题还有另一个突破口：每一个节点，若以当前节点权值为初始权值，它向根节点走第一个会被修改的节点是确定的！这是倍增的标志！！！

结合上面两个性质，我们可以想出一种做法：用倍增数组 $ f[200005][19] $ 维护祖辈里比他大的节点（第一个比他大的，第二个，第四个，八个........）。如果我们初始权值为 $ v $ ，那么我们只要找到第一个比他大的节点（这个也可以用倍增完成），然后我们在这个节点开始用倍增，因为数组里记录都是比当前节点大的节点，所以我们只需将数组里所有深度小于终点的节点数记录下来即可！

至于预处理，首先我们虚拟一个根节点的父亲，权值无限大。然后更新某个节点处置时，找到父辈里第一个比他大的节点，用这个节点更新当前节点即可。具体寻找时：我们要从父亲节点出发，因为数组里记录的是比他大的节点，我们只需要看看那个节点的权值是否大于当前节点，小于等于才跳，最后得到的节点的父亲即为所求！

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$ code: $

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<iomanip>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>

#define ll long long
#define db double
#define rg register int

using namespace std;

int n,q;
int top;
int a[400005]; //节点权值
int dp[400005]; //节点深度
int f[300005][19]; //树上倍增
// f数组存的是祖辈里比他大的节点（第一个比他大的，第二个，第四个，八个........）

struct su{
	int to,next;
}b[800005];
int tou[400005]; //链式前向星

inline int qr(){
	register char ch; register bool sign=0; rg res=0;
	while(!isdigit(ch=getchar()))if(ch=='-')sign=1;
	while(isdigit(ch))res=res*10+(ch^48),ch=getchar();
	if(sign)return -res; else return res;
}

inline int get(int x,int v){ //找到去根节点的路径上第一个比他大的
	if(a[x]>v)return x; //x是他父亲
	for(rg i=18;i>=0;--i){
		if(a[f[x][i]]<=v)x=f[x][i]; //只有都小于等于他才向上跳，倍增套路
	}x=f[x][0]; return x; //小于等于才跳，那么下一个就是第一个比他大的
}

inline void dfs(int i,int fa){
	dp[i]=dp[fa]+1; //深度
	rg x=get(fa,a[i]); f[i][0]=x; //当前节点还没有值，从父亲开始找
	for(rg j=0;j<18;++j)
		f[i][j+1]=f[f[i][j]][j]; //用第一个比他大的节点更新倍增信息
	for(rg j=tou[i];j;j=b[j].next)
		if(b[j].to!=fa)dfs(b[j].to,i);
}

inline int ask(int x,int y,int v){
	for(rg i=18;i>=0;--i)
		if(a[f[x][i]]<=v)x=f[x][i]; //和get函数差不多，找到第一个比他大的
	if(a[x]<=v)x=f[x][0]; //有可能初始节点就比v大
	if(dp[x]<dp[y])return 0; //说明没有比他大的
	rg res=1;
	for(rg i=18;i>=0;--i){
		if(dp[f[x][i]]>=dp[y])res+=1<<i,x=f[x][i]; //按照深度一点一点逼近
	}return res;
}

int main(){
	n=qr(); q=qr();
	for(rg i=1;i<=n;++i) a[i]=qr();
	for(rg i=1;i<n;++i){
		rg x=qr(),y=qr();
		b[++top].to=y; b[top].next=tou[x]; tou[x]=top; //居然不开c++11
		b[++top].to=x; b[top].next=tou[y]; tou[y]=top; // o(一︿一+)o
	} a[0]=1e9; dfs(1,0); //根节点的父亲要赋最大！！！
	for(rg i=1;i<=q;++i){
		rg x=qr(),y=qr(),z=qr();
		printf("%d\n",ask(x,y,z));
	}
	return 0;
}