bzoj 2277 [Poi2011]Strongbox 数论
2277: [Poi2011]Strongbox
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Description
有一个密码箱,0到n-1中的某些整数是它的密码。
且满足,如果a和b都是它的密码,那么(a+b)%n也是它的密码(a,b可以相等)
某人试了k次密码,前k-1次都失败了,最后一次成功了。
问:该密码箱最多有多少不同的密码。
Input
第一行n,k
下面一行k个整数,表示每次试的密码
保证存在合法解
1<=k<=250000 k<=n<=10^14
Output
一行,表示结果
Sample Input
28 31 10 38 24
Sample Output
假如x是密码,则所有gcd(x,n)的倍数就一定是密码,反之则一定不是(因为线性方程组的解)
换言之,密码一定可以表示为x,2x,3x,4x,......其中x为n的一个约数
推出了上面这些性质这道题就很好做了,首先最后一次试出来了说明x|gcd(a[k],n)
且x又不能整除gcd(a[i],n),其中i<k
所以我们暴力枚举所有可能的x,然后直接检验是否满足不能整除gcd(a[i],n)就可以了
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<iostream> #define ll long long
#define inf 1000000007
#define N 1000007 #define Wb putchar(' ')
#define We putchar('\n')
#define rg register int
using namespace std;
inline ll read()
{
ll x=,f=;char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-;ch=getchar();}
while(isdigit(ch)){x=(x<<)+(x<<)+ch-'';ch=getchar();}
return x*f;
}
inline void write(ll x)
{
if(x<) putchar('-'),x=-x;
if (x==) putchar();
rg num=;char c[];
while(x) c[++num]=(x%)+,x/=;
while(num) putchar(c[num--]);
} ll n,k,ans;
ll a[],cnt; bool check(ll x)
{
for(rg i=;i<=cnt;i++)
if(a[i]%x==) return false;
return true;
}
ll gcd(ll a,ll b)
{
if(a==) return b;
return gcd(b%a,a);
}
int main()
{
n=read(),k=read();
for(rg i=;i<=k;i++)
a[i]=read();
ans=n;
for(rg i=;i<=k;i++)
a[i]=gcd(n,a[i]);
sort(a+,a+k);
for(rg i=;i<k;i++)
if(a[i]!=a[i-])
{
cnt++;
a[cnt]=a[i];
}
for(ll i=;i<=sqrt(a[k]);i++)
if(a[k]%i==)
{
if(check(i)) {ans=n/i;break;}
else if(check(a[k]/i)) ans=n/a[k]*i;
}
write(ans);
}
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