【BZOJ1010】【HNOI2008】玩具装箱

继续看黄学长代码

原题：

P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压
缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1...N的N件玩具，第i件玩具经过
压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容
器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一
个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，
如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容
器，甚至超过L。但他希望费用最小.

第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

学过一点DP的都能想出的状态转移方程：f[i]=min(f[j]+(sum[i]-sum[j]+i-j-1-l)^2)

然后可以发现有些东西是怎么都不会变得，可以让s[i]=sum[i]+i,c=l+1

呢么这个方程就变成f[i]=min(f[j]+(s[i]-s[j]-c)^2)

然后就搞斜率优化

假设在i阶段有个一个优于j的决策k，呢么f[k]+(s[i]-s[k]-c)^2<=f[j]+(s[i]-s[j]-c)^2

呢么想要证明对于i后的所有状态t，要证明决策单调性，就是f[k]+(s[t]-s[k]-c)^2<=f[j]+(s[t]-s[j]-c)^2

因为s是固定的，所以s[t]可以表示为s[i]+v

f[k]+(s[i]+v-s[k]-c)^2<=f[j]+(s[i]+v-s[j]-c)^2

f[k]+ (s[i]-s[k]-c)^2 + 2*v*(s[i]-s[k]-c) + v^2 <= f[j]+ (s[i]-s[j]-c)^2 + 2*v*(s[i]-s[j]-c) + v^2

因为决策k是优于决策j的，所以f[k]<=f[j]

问了几个人都管不了(s[i]-s[k]-c)^2 QAQ，求大神指教QAQ

根据显然法可得，只需要证明 2*v*(s[i]-s[k]-c)<=2*v*(s[i]-s[j]-c)，黄学长直接跳到这里

然后s[j]<=s[k]

然后求斜率优化

f[k]+(s[i]-s[k]-c)^2<=f[j]+(s[i]-s[j]-c)^2

展开略

(f[k]+(s[k]+c)^2-f[j]-(s[j]+c)^2)/(2*(s[k]-s[j]))<=f[i]

然后优化斜率

内个(s[i]-s[k]-c)^2怎么都想不明白，心好累qaq

代码：

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #include<cstring>
 #include<cmath>
 using namespace std;
 int read(){int z=,mark=;  char ch=getchar();
     while(ch<''||ch>''){if(ch=='-')mark=-;  ch=getchar();}
     while(ch>=''&&ch<=''){z=(z<<)+(z<<)+ch-'';  ch=getchar();}
     return z*mark;
 }
 int n,m;
 int dui[],tou=,wei=;
 long long f[],s[];
 long long fang(long long x){  return x*x;}
 double get_ratio(int y,int x){  return ((f[x]-f[y]+fang(s[x]+m)-fang(s[y]+m))/(2.0*(s[x]-s[y])));}//斜率是右边-左边，所以这里参数先输入y，再输入x
 void dp(){
     dui[tou=]=;
     for(int i=;i<=n;i++){
         while(wei<tou && get_ratio(dui[wei],dui[wei+])<=s[i])  wei++;
         int temp=dui[wei];
         f[i]=f[temp]+fang(s[i]-s[temp]-m);
         while(wei<tou && get_ratio(dui[tou],i)<get_ratio(dui[tou-],dui[tou]))  tou--;
         dui[++tou]=i;
     }
 }
 int main(){//freopen("ddd.in","r",stdin);
     cin>>n>>m;  m++;
     s[]=;
     for(int i=;i<=n;i++)  s[i]=s[i-]+read();
     for(int i=;i<=n;i++)  s[i]+=i;
     dp();
     cout<<f[n]<<endl;
     return ;
 }