[bzoj1010](HNOI2008)玩具装箱toy(动态规划+斜率优化+单调队列)

Description

P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有 的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1...N的N件玩具，第i件玩具 经过压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加 入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作 出任意长度的容器，甚至超过L。但他希望费用最小.

Input

第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

Output

输出最小费用

Sample Input

5 4
3
4
2
1
4

Sample Output

1

分析

这已经是HNOI2008第三道dp了吧……

首先我们还是要写出转移方程：$$f(i) = \min_{0 \leq j < i} \{ f(j) + (S(i) - S(j) - L - 1)^2 \} $$

其中$S(i) = \sum\limits_{j =1}^i (C(j) + 1).$
然后把方程转化一下：$$f(i) = (S(i) - L - 1)^2 + \\ \min_{0 \leq j<i} \{-2(S(i)-L-1)S(j) + f(j) + S(j)^2 \}$$
就可以设$2(S(i)-L-1)$为斜率，$S(j)和 f(j) + S(j)^2$分别为横纵坐标建立凸包进行斜率优化，复杂度$O(NlogN)$.
最后可以发现每次对凸包进行二分查找时的斜率$2(S(i)-L-1)$是随i单调递增的……于是我们可以用单调队列优化到$O(n)$。

 #include <cctype>
 #include <cstdio>
  template<typename T>inline      ;
          , c = getchar();
     x = c -       + c -       }
  typedef  ;
 , it2 = ;
 LL S, X[maxn], Y[maxn], f[maxn];
      (y<=Y[j])?:((k<)?:((x-X[j])*(Y[j]-Y[k]) >= (X[j]-X[k])*(y-Y[j])))
   
 inline      ){
         X[it2] = x, Y[it2] = y;
         ++it2;
              }
     , it2-))--it2;
     X[it2] = x, Y[it2] = y;
     ++it2;
 }
 inline           LL k, t, b1, b2, y;
     ;i <= N;++i){
         S += V[i];
         t = S - L - , k = - t << ;
         b2 = k * X[it1] + Y[it1];
         ){
             f[i] = t * t + b2;
             y = f[i] + S * S;
             insert(S, y);
                      }
          < it2){
             b1 = b2, b2 = k * X[it1+] + Y[it1+];
                                   }
         f[i] = t * t + k * X[it1] + Y[it1];
         y = f[i] + S * S;
         insert(S, y);
     }
     printf( }
           freopen(                      getd(N), getd(L);
     ;i <= N;++i)
         getd(C), V[i] = C + ;
     dp();
     ;
 }

单调队列dp