#Dijkstra，二进制拆位#洛谷 5304 [GXOI/GZOI2019]旅行者

题目

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分析(\(logk\)次Dijkstra)

首先为什么\(O(nklogn)\)的多次\(dijkstra\)为什么会TLE，

因为中间有许多的冗余状态，即使两点求出的路径是最短的，它也不一定是最优的，

怎样转换成单源最短路径问题，考虑建超级源点和超级汇点，要使两两之间的最短路径都能被统计，

那么考虑二进制拆分，将某一位的0或者1分成两部分跑最短路，这样保证关键点两两间最短路径不会遗漏

时间复杂度是\(O(nlognlogk)\)

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代码

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define rr register
using namespace std;
const int N=100011; typedef long long lll;
struct node{int y,w,next;}e[N*6];
pair<lll,int>heap[N]; lll ans,dis[N];
int as[N],n,m,K,kk,k,cnt,p[N],As[N];
inline signed iut(){
	rr int ans=0; rr char c=getchar();
	while (!isdigit(c)) c=getchar();
	while (isdigit(c)) ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48),c=getchar();
	return ans;
}
inline void Push(pair<lll,int>w){
    heap[++cnt]=w;
    rr int x=cnt;
    while (x>1){
        if (heap[x>>1]>heap[x])
            swap(heap[x>>1],heap[x]),x>>=1;
        else return;
    }
}
inline void Pop(){
    heap[1]=heap[cnt--];
    rr int x=1;
    while ((x<<1)<=cnt){
        rr int y=x<<1;
        if (y<cnt&&heap[y+1]<heap[y]) ++y;
        if (heap[y]<heap[x]) swap(heap[y],heap[x]),x=y;
            else return;
    }
}

inline lll Dijkstra(){
	for (rr int i=1;i<n+3;++i) dis[i]=1e18;
    dis[n+1]=0,heap[++cnt]=make_pair(0,n+1);
    while (cnt){
    	rr int x=heap[1].second; rr lll t=heap[1].first;
    	Pop(); if (t!=dis[x]) continue;
    	for (rr int i=as[x];i;i=e[i].next)
    	if (dis[e[i].y]>dis[x]+e[i].w){
    		dis[e[i].y]=dis[x]+e[i].w;
			Push(make_pair(dis[e[i].y],e[i].y));
		}
	}
	return dis[n+2];
}
signed main(){
	for (rr int T=iut();T;--T){
		memset(as,0,sizeof(as)),ans=1e18;
		n=iut(),m=iut(),K=iut(),k=1;
		for (rr int i=1;i<=m;++i){
			rr int x=iut(),y=iut(),w=iut();
			e[++k]=(node){y,w,as[x]},as[x]=k;
		}
		for (rr int i=1;i<=K;++i) p[i]=iut();
		memcpy(As,as,sizeof(as)),kk=k;
		for (rr int i=0;(1<<i)<=K;++i){
			memcpy(as,As,sizeof(As)),k=kk;
			for (rr int j=1;j<=K;++j)
			if ((j>>i)&1) e[++k]=(node){p[j],0,as[n+1]},as[n+1]=k;
			    else e[++k]=(node){n+2,0,as[p[j]]},as[p[j]]=k;
			ans=min(ans,Dijkstra());
			memcpy(as,As,sizeof(As)),k=kk;
			for (rr int j=1;j<=K;++j)
			if ((j>>i)&1) e[++k]=(node){n+2,0,as[p[j]]},as[p[j]]=k;
			    else e[++k]=(node){p[j],0,as[n+1]},as[n+1]=k;
			ans=min(ans,Dijkstra());
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}

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分析（2次最短路）

虽然上述方法很常用，但是很容易被卡掉，

考虑枚举点或者边，使得两个关键点的最短路经过这个点或者这条边，

一个很常见的技巧就是标记最短路是由哪个关键点到的，

如果正反最短路的关键点不同，说明存在一条经过该点或该边的最短路

但是正确性不会证qwq

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代码

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define rr register
using namespace std;
const int N=100011; typedef long long lll;
struct node{int y,w,next;}e[N*10];
pair<lll,int>heap[N]; lll ans,dis[2][N];
int as[2][N],n,m,K,k,cnt,p[N],f[2][N];
inline signed iut(){
	rr int ans=0; rr char c=getchar();
	while (!isdigit(c)) c=getchar();
	while (isdigit(c)) ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48),c=getchar();
	return ans;
}
inline void Push(pair<lll,int>w){
    heap[++cnt]=w;
    rr int x=cnt;
    while (x>1){
        if (heap[x>>1]>heap[x])
            swap(heap[x>>1],heap[x]),x>>=1;
        else return;
    }
}
inline void Pop(){
    heap[1]=heap[cnt--];
    rr int x=1;
    while ((x<<1)<=cnt){
        rr int y=x<<1;
        if (y<cnt&&heap[y+1]<heap[y]) ++y;
        if (heap[y]<heap[x]) swap(heap[y],heap[x]),x=y;
            else return;
    }
}
inline void Dijkstra(int z){
	for (rr int i=1;i<=n;++i) dis[z][i]=1e18,f[z][i]=-1;
	for (rr int i=1;i<=K;++i) f[z][p[i]]=p[i];
	for (rr int i=1;i<=K;++i) Push(make_pair(dis[z][p[i]]=0,p[i]));
    while (cnt){
    	rr int x=heap[1].second; rr lll t=heap[1].first;
    	Pop(); if (t!=dis[z][x]) continue;
    	for (rr int i=as[z][x];i;i=e[i].next)
    	if (dis[z][e[i].y]>dis[z][x]+e[i].w){
    		dis[z][e[i].y]=dis[z][x]+e[i].w,f[z][e[i].y]=f[z][x];
			Push(make_pair(dis[z][e[i].y],e[i].y));
		}
	}
}
signed main(){
	for (rr int T=iut();T;--T){
		memset(as,0,sizeof(as)),ans=1e18;
		n=iut(),m=iut(),K=iut(),k=1;
		for (rr int i=1;i<=m;++i){
			rr int x=iut(),y=iut(),w=iut();
			e[++k]=(node){y,w,as[0][x]},as[0][x]=k;
			e[++k]=(node){x,w,as[1][y]},as[1][y]=k;
		}
		for (rr int i=1;i<=K;++i) p[i]=iut();
		Dijkstra(0),Dijkstra(1);
		for (rr int i=1;i<=n;++i)
		    if (f[0][i]^f[1][i])
		        ans=min(ans,dis[0][i]+dis[1][i]);
		for (rr int i=2;i<=k;i+=2)
		if (f[0][e[i^1].y]^f[1][e[i].y])
		    ans=min(ans,dis[0][e[i^1].y]+e[i].w+dis[1][e[i].y]);
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}