TQX 的 DP AAgain！

闲话：

这确实抽象，将所有人给干离线了……

不如叫做 TQX 的离线 DP QwQ

DP

基本思路就是找一个比较好的能够描绘问题的状态,想怎么转移,再进行优化。

--TQX

背包 DP

loj 6089. 小 Y 的背包计数问题

根号分治优化背包，大概就是利用 \(cnt \times siz \ge cap\) 将多重变为完全，然后统一转移。

区间 DP

复杂度越高的题越难？（雾

区间 DP 简单的就是 \(f_{l, r}\) 这个限制，但是常常来说这是无法解决问题的（除非实在简单

所以需要辅助以与问题相关的信息，例如 \(\max, \min, \cdots\) 才能进行转移。

值得注意的是区间 DP 的常数很小，如果枚举了 \(n\) 个位置（单调）那么将带有 \(\frac 1 {n!}\) 的常数！所以 \(O(n^7)\) 不是梦，\(50\) 也能过。

P5336 [THUSC2016] 成绩单 大概说的就是转移代价与 \(\min, \max\) 相关但是与区间内有什么无关，那么就在区间 DP 同时维护最大/最小是什么即可，复杂度 \(O(n^5)\)

AGC035D Add and Remove 很抽象的区间 DP，大概是说这次我们不顺着来考虑了，从外到内考虑。发现删除中间那个数，会对左右两边各做一次贡献，那么我们可以设 \(f_{i, j, x, y}\) 表示 \(i, j\) 分别对左右两边做 \(x, y\) 次贡献的最小代价。最终答案就是 \(f_{1, n, 1, 1}\)，那么转移也就简单了，中间那个会对左边来 \(x\) 次，右边来 \(y\) 次，也就是左边区间内的东西对两侧分别 \(x + y, y\)，右边则是 \(x, x + y\)，那么递归下去搜索即可。

[AGC039E] Pairing Points 区间计数 DP……敢信 \(O(n^7)\) 能过！大概是说要善于利用 树 的性质：没有三条边互相相交，那么我们枚举一个点对应的点，那么就可以分成两个区间，这两个区间间形成鱼骨状的联系。



那么需要联通，两边至少需要一个跨过中线的东西吧，这总会有一个最顶顶上的吧，那么分成了 \(4\) 块，两两需要联通，状态这不就没了吗？但是发现其实只会有 \(3\) 块！



因为一定会存在两个分界点（绿色）使得分成独立的三部分。

那么思路就清晰了，我们只需要知道分界点，那么就可以枚举最上面的那条线，以及下面的两个分界点即可。于是得出式子：\(f_{l, r, m} = \sum_{x \in [l, m), y \in (m, r]} \sum_{p \in [x, m), q \in (m, y]} f_{l, x, p} f_{q, y, r} f_{p + 1, m, q - 1}\)，直接做是 \(O(n^7)\) 的但是带一个 \(\frac 1 {7!}\) 的常数，能过。

容易利用先枚举绿色断点的方式优化到 \(O(n^5)\)。

树形 DP

或许如果将子树利用 dfn 转化为一个区间，那么树形 DP 可能也可以转化为区间 DP 的模型。只是在这里区间要么相交，要么相离，所以树形 DP 应该是不难于区间 DP 的（雾

经常与线段树合并/长链剖分/动态 DP 等算法结合出现,令人闻风丧胆,不过感觉这些主要考察数据结构。

--TQX

CF1517F Reunion 大概说的是求白点扩展 \(r\) 格覆盖所有点的方案数。那么考虑一个朴素的 DP：\(f_{x, i, j}\) 表示 \(x\) 子树内最深的黑点和最浅的白点的距离。那么转移是简单的。但是复杂度为 \(O(n^5)\)，是无法过的，所以考虑如果白点存在且覆盖了所有黑点，那么只需要记录白点是什么，同理，如果黑点没有被完全覆盖，那么白点没有用，就只需要记录黑点是啥就行了，复杂度被优化为 \(O(n^3)\)。

[AGC034E] Complete Compress 非常神奇，大概就是说基于一个贪心的思路，考虑移动祖孙点是不优的，那么我们只需要移动不同子树内的东西即可。但是也不能把子树内的全部搞定了，因为可能需要分一点出来在祖先的地方平衡其他的子树，这启示我们可以考虑维护一个上下界，表示能达到的状态。考虑到每次移动使得两个点深度 \(-1\)，启示我们可以利用 \(\sum dep\) 作为状态转移，那么设 \(f_i, g_i\) 分别表示上下界，那么细细转移即可。上界是简单的，就是不需要移动，而下界不简单，考虑如果有一个子树太深，那么怎么也无法使得下界为 \(0/1\)，那么将 \(mx = \max g_y\) 求出来，如果 \(S = \sum \min(f_y + siz_y, mx) < 2 mx\)，那么显然就达不到 \(0/1\)，反之就可以。至于是 \(0/1\)，考虑到每次操作总深度减少的一定是 \(2\)，那么这就取决于 \(f_i\) 的奇偶性。朴素的每个点都要作为一次根，考虑换根即可做到 \(O(n)\)。

[Ynoi2006] spxmcq 朴素的很简单，\(f_x = w_x + \sum \max (f_y, 0)\)，但是需要优化，\(O(nq)\) 显然不够。大概说就是考虑将 \(x\) 离线升序排序，那么显然的是 \(\max (f_y, 0)\) 会在某前段时间为 \(0\)，在某后段时间为 \(f_y\)，那么我们只需要知道 \(f_y\) 在什么时候变成 \(> 0\) 的，那么就可以得出 \(x\) 的答案即对其联通的子树求和简单即可。不妨设某个根 \(x\)，考虑什么时候 \(f_x > 0\)，假设其所在的联通块大小为 \(siz\)，原本的权值和为 \(wei\)，那么只需要当 \(w > \frac {-wei}{siz}\) 的时候就可以使得 \(f_x > 0\) 了！那么利用 set 存一存，注意新连接一个子树需要更新一下其变化的时间！

CF1326G Spiderweb Trees 咕

数位 DP

一般需要单独处理卡上界的情况，可以将卡上界作为一个状态，也可以直接把上界拆开。通常同时有上下界时会将区间答案转化为前缀和相减。

--TQX

P2657 windy 数 板子题，略。

【UER#4】被粉碎的数字 大概就是简单的在数位 DP 的同时维护一个进位，考虑最后我们需要只是相等，那么再维护一个差值，也就是 \(f_{i, x, d}\) 表示考虑到 \(i\) 位，前面进过来了 \(x\) 位，当前差值为 \(d\)，卡个上界记忆化即可。

CF1456E XOR-ranges 非常抽象的一个数位区间 DP。注意到有上下界，这是不好处理的，但是可以发现的是只有 \(O(k)\) 种脱离上下界的方法，之后就可以任意填了。考虑最后脱离限制的那位，显然的是之后全放 \(0\) 或者全放 \(1\) 是最优的，那么考虑枚举区间最后脱离的位，如果 \(l - 1, r + 1\) 在之后存在一位不同，那么这一位一定需要做出贡献。于是可以搞出一个区间 DP，设 \(f_{c, l, r, 0/1, 0/1, 0/1, 0/1}\) 表示区间 \(l, r\) 在 \(c\) 退位，左右顶着上/下界，下面填的是 \(0\) 还是 \(1\)，之后枚举断点转移即可。

状压 DP

CF1158F Density of subarrays 更加抽象的状压 DP。注意到当 \(c\) 很小的时候，我们就可以简单的状压，做到 \(O(\frac {n^2 2^c}{c})\)。但是当 \(c\) 很大的时候这就显得无能为力，可能需要将 \(O(2^c)\) 替换为 \(O(n)\)。接着就可以发现，利用背包，设 \(f_{i, j}\) 表示前 \(i\) 个分 \(j\) 段的方案数，接下来就是 \(g_{l, r}\) 表示转移的系数，表示必须选 \(l\)，并且在 \(l, r\) 中选了一些使得密度为 \(1\) 的方案数，那么直接转移即可。注意加 register 卡卡常。

DP 的优化

通常优化 DP,除了改变状态之外,也可以通过分析转移的性质,进而改变枚举方法或者结合一些其他算法来进行优化。

--TQX

• 单调队列，非常朴实，咕

• slope trick，大概就是说利用堆维护 DP 函数的斜率，从而转移。一般来说是将 \(f_{i, x}\) 看成一个关于 \(x\) 的函数 \(f_{i}(x)\)，然后维护其形状转移到下一个函数 \(f_{i + 1}(x)\)，一般来说转移加凸函数（如绝对值）的就可以考虑凸优化。

Red Black Tree 注意到 \(O(n^2)\) DP 是简单的：\(f_{x, k} = \min_{i = 0/1} (g_{x, i} + \sum f_{y, k - i})\)，其中 \(i = 1\) 表示是黑色，\(g_{x, i}\) 是修改为颜色 \(i\) 的代价。可以归纳得出 \(f_x\) 是个凸函数，那么合并时暴力加起来，插入 \(1/-1\) 即可。

[APIO2016] 烟火表演 与上一题类似，加一个可并堆即可。

• 斜率优化，大概就是说 \(f_x = f_y + c_x + c_y + g_x g_y\) 这种东西，其中 \(c_x, c_y, g_x, g_y\) 都是已知，但是 \(f_y\) 需要 DP 计算，那么就可以利用斜率优化完成，可以看 # 算法学习笔记(31): 李超线段树

• 决策单调性，与四边形不等式（交叉小于包含）强相关。对于 2D1D 的问题，如果 \(w(l, r)\) 满足四边形不等式以及包含单调性（\(l \le x \le y \le r \to w(l, r) \ge w(x, y)\)）那么整个 DP 满足四边形不等式，就可以优化为 \(O(n^2)\) 了。

但是对于 1D1D 的区间单调性，就需要神秘的方法：单调栈与二分。

大概就是说既然决策单调，那么每一个部分管的区间就是一个区间……那么就可以类似单调栈的搞它。

但是如果仅仅只是 \(f_i = w(j, i)\) 的东西，那么可以利用分治解决。

Artistic Partition 大概就是说最朴素的 DP 就是 \(f_{i, j} = f_{i - 1, k} + w(k + 1, j)\)，注意到这里 \(w(k + 1, j)\) 满足四边形不等式，那么就可以利用分治优化。注意到直接计算不简单，考虑利用莫队（注意分治时用莫队只有常数上的开销！）只是这里莫队转移要带一个 \(O(d(V))\) 的代价，所以单次转移复杂度为 \(O(n \log^2 n)\)。注意到当 \(k\) 很大的时候，总可以构造出一个方案使得答案抵着下界 \(n\)，不难发现这是 \(O(\log n)\) 的，于是只需要转移 \(O(\log n)\) 次即可。其实也可以 \(O(n \sqrt n)\) 的预处理式子（利用整除分块），做到 \(O(1)\) 回答，那么总复杂度为 \(O(n \log^2 n + n \sqrt n)\)。

最后

DP，可以说是重中之重，在最优化和计数中常常能见到它的身影。

它没啥套路，又全是套路 QwQ，最可恶的一集。