神经网络优化篇：详解指数加权平均数（Exponentially weighted averages）

指数加权平均数

比如这儿有去年伦敦的每日温度，所以1月1号，温度是40华氏度，相当于4摄氏度。世界上大部分地区使用摄氏度，但是美国使用华氏度。在1月2号是9摄氏度等等。在年中的时候，一年365天，年中就是说，大概180天的样子，也就是5月末，温度是60华氏度，也就是15摄氏度等等。夏季温度转暖，然后冬季降温。

用数据作图，可以得到以下结果，起始日在1月份，这里是夏季初，这里是年末，相当于12月末。

这里是1月1号，年中接近夏季的时候，随后就是年末的数据，看起来有些杂乱，如果要计算趋势的话，也就是温度的局部平均值，或者说移动平均值。

要做的是，首先使\(v_{0} =0\)，每天，需要使用0.9的加权数之前的数值加上当日温度的0.1倍，即\(v_{1} =0.9v_{0} + 0.1\theta_{1}\)，所以这里是第一天的温度值。

第二天，又可以获得一个加权平均数，0.9乘以之前的值加上当日的温度0.1倍，即\(v_{2}= 0.9v_{1} + 0.1\theta_{2}\)，以此类推。

第二天值加上第三日数据的0.1，如此往下。大体公式就是某天的\(v\)等于前一天\(v\)值的0.9加上当日温度的0.1。

如此计算，然后用红线作图的话，便得到这样的结果。

得到了移动平均值，每日温度的指数加权平均值。

看一下上面的公式，\(v_{t} = 0.9v_{t - 1} +0.1\theta_{t}\)，把0.9这个常数变成\(\beta\)，将之前的0.1变成\((1 - \beta)\)，即\(v_{t} = \beta v_{t - 1} + (1 - \beta)\theta_{t}\)

由于以后要考虑的原因，在计算时可视\(v_{t}\)大概是\(\frac{1}{(1 -\beta)}\)的每日温度，如果\(\beta\)是0.9，会想，这是十天的平均值，也就是红线部分。

来试试别的，将\(\beta\)设置为接近1的一个值，比如0.98，计算\(\frac{1}{(1 - 0.98)} =50\)，这就是粗略平均了一下，过去50天的温度，这时作图可以得到绿线。

这个高值\(\beta\)要注意几点，得到的曲线要平坦一些，原因在于多平均了几天的温度，所以这个曲线，波动更小，更加平坦，缺点是曲线进一步右移，因为现在平均的温度值更多，要平均更多的值，指数加权平均公式在温度变化时，适应地更缓慢一些，所以会出现一定延迟，因为当\(\beta=0.98\)，相当于给前一天的值加了太多权重，只有0.02的权重给了当日的值，所以温度变化时，温度上下起伏，当\(\beta\) 较大时，指数加权平均值适应地更缓慢一些。

可以再换一个值试一试，如果\(\beta\)是另一个极端值，比如说0.5，根据右边的公式（\(\frac{1}{(1-\beta)}\)），这是平均了两天的温度。

作图运行后得到黄线。

由于仅平均了两天的温度，平均的数据太少，所以得到的曲线有更多的噪声，有可能出现异常值，但是这个曲线能够更快适应温度变化。

所以指数加权平均数经常被使用，再说一次，它在统计学中被称为指数加权移动平均值，就简称为指数加权平均数。通过调整这个参数（\(\beta\)），或者说后面的算法学习，会发现这是一个很重要的参数，可以取得稍微不同的效果，往往中间有某个值效果最好，\(\beta\)为中间值时得到的红色曲线，比起绿线和黄线更好地平均了温度。