【BZOJ-4082】Surveillance 树链剖分 LCA + 贪心

4082: [Wf2014]Surveillance

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Description

给你一个长度为len的环，以及n个区间，要你选择尽量少的区间，使得它们完全覆盖整个环。问最少要多少个区间。

Input

输入数据的第一行是两个整数len和n，代表环的长度以及区间个数。之后n行描述的是n个区间，每个区间分别用一对数字(a,b)表示，若a≤b则表示这个区间覆盖的是[a,b]部分，否则表示这个区间覆盖的是除掉[a+1,b-1]以外的其他部分。

Output

输出只有一行，一个整数，代表覆盖整个环所需要的最少区间个数。

Sample Input

100 7
1 50
50 70
70 90
90 40
20 60
60 80
80 20

Sample Output

3

HINT

Source

鸣谢qpswwww提供译文

Solution

这个题还是很巧妙的啊！

首先这个题有个序列上的版本在CodeVS，那样只需要贪心的排序，然后从头开始每次选一个覆盖最长的即可。

但是环上的情况显然不能这么搞，因为可以从每个点开始搞，都会有不同的方法。

但是这个思路还是可以利用的，我们展环成链，还是贪心的按照右端从小到大排序。

序列上的版本，我们是直接从起始节点开始每次都选一个覆盖最长的，那这里同样，只有全部是覆盖最长的才有可能是最优的。

那么我们对每个节点向它覆盖最长的连边，这样会形成一棵树，可以发现，这样树上两点的距离就是答案。

所以我们求一下LCA，枚举一下每个点做起始时的答案，取一下min即可。

还是有很多细节需要处理的，比如我们很有可能会覆盖过多，所以最后并不是每次查$i->i+L$，所以我们需要一开始用一个set维护一下这个东西。

这样总的复杂度大概是$O(NlogN)$，范围大概是$10^{6}$的，有点虚所以写的链剖

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
using namespace std;
#define INF 0x7fffffff
inline int read()
{
    int x=; char ch=getchar();
    while (ch<'' || ch>'') {ch=getchar();}
    while (ch>='' && ch<='') {x=x*+ch-''; ch=getchar();}
    return x;
}
#define MAXN 1000010
struct SecNode
{
    int s,t;
    bool operator < (const SecNode & A) const {return t==A.t? s<A.s:t<A.t;}
}sec[MAXN];
struct EdgeNode{int next,to;}edge[MAXN<<];
int head[MAXN<<],cnt=;
inline void AddEdge(int u,int v) {cnt++; edge[cnt].next=head[u]; head[u]=cnt; edge[cnt].to=v;}
inline void InsertEdge(int u,int v) {AddEdge(u,v); AddEdge(v,u);}
int size[MAXN<<],fa[MAXN<<],deep[MAXN<<],son[MAXN<<],top[MAXN<<];
bool ok[MAXN<<];
int N,L,ans=INF;
set<int>st;
inline void DFS_1(int now)
{
    if (deep[now]) return;
    if (!fa[now])
        {
            deep[now]=;
            if (now>L && ok[now]) fa[now]=*L+,InsertEdge(fa[now],now);
            return;
        }
    DFS_1(fa[now]);
    InsertEdge(fa[now],now);
    deep[now]=deep[fa[now]]+;
}
inline void DFS_2(int now)
{
    size[now]=;
    for (int i=head[now]; i; i=edge[i].next)
        if (edge[i].to!=fa[now])
            {
                DFS_2(edge[i].to);
                size[now]+=size[edge[i].to];
                if (size[son[now]]<size[edge[i].to]) son[now]=edge[i].to;
            }
}
inline void DFS_3(int now,int chain)
{
    top[now]=chain;
    if (son[now]) DFS_3(son[now],chain);
    for (int i=head[now]; i; i=edge[i].next)
        if (edge[i].to!=son[now] && edge[i].to!=fa[now])
            DFS_3(edge[i].to,edge[i].to);
}
inline int LCA(int u,int v)
{
    v=*st.lower_bound(v);
    if (!top[u] || !top[v]) return -;
    while (top[u]!=top[v])
        {
            if (deep[top[u]]<deep[top[v]]) swap(u,v);
            u=fa[top[u]];
        }
    if (deep[u]>deep[v]) swap(u,v);
    return u;
}

int main()
{
    L=read(),N=read();
    for (int i=; i<=N; i++) sec[i].s=read(),sec[i].t=read(),sec[i].t=sec[i].t<sec[i].s? sec[i].t+L:sec[i].t;
    sort(sec+,sec+N+);
    for (int i=N; i; i--)
        if (!fa[sec[i].s])
            for (int j=sec[i].s; j<=L && j<=sec[i].t && !fa[j]; j++)
                {ok[ fa[j]=sec[i].t+ ]=; if (fa[j]>L) st.insert(fa[j]);}
    st.insert(*L+);
    for (int i=; i<=L*; i++) DFS_1(i);
    DFS_2(*L+); DFS_3(*L+,*L+);
    for (int lca,i=; i<=L; i++) lca=LCA(i,i+L),ans=lca!=-? min(ans,deep[i]-deep[lca]):ans;
    if (ans==INF) puts("impossible"); else printf("%d\n",ans);
    return ;
}