相似度度量：欧氏距离与余弦相似度（Similarity Measurement Euclidean Distance Cosine Similarity）

在《机器学习---文本特征提取之词袋模型（Machine Learning Text Feature Extraction Bag of Words）》一文中，我们通过计算文本特征向量之间的欧氏距离，了解到各个文本之间的相似程度。当然，还有其他很多相似度度量方式，比如说余弦相似度。

在《皮尔逊相关系数与余弦相似度（Pearson Correlation Coefficient & Cosine Similarity）》一文中简要地介绍了余弦相似度。因此这里，我们比较一下欧氏距离和余弦相似度之间的区别。

首先来说一下欧氏距离（Euclidean Distance）：

n维空间里两个向量X(x1,x₂,…,x_n)与Y(y₁,y₂,…,y_n)之间的欧氏距离计算公式是：

 

用矩阵表示法表示为：

再来说一下余弦相似度（Cosine Similarity）：

n维空间里两个向量x(x1,x₂,…,x_n)与y(y₁,y₂,…,y_n)之间的余弦相似度计算公式是：

用向量形式表示为：

相同之处：

在机器学习中都可以用来计算相似程度。欧氏距离是最常见的距离度量，而余弦相似度则是最常见的相似度度量。很多其他的距离度量和相似度度量都是基于这两者的变形和衍生。

区别：

借助三维坐标系来看下欧氏距离和余弦相似度的区别。（下图摘自：https://blog.csdn.net/lin00jian/article/details/51209715）

从图上可以看出欧式距离衡量的是空间中各点之间的绝对距离，和点所在的位置坐标（即个体各维度的特征数值）直接相关，距离越小，两向量之间越相似；而余弦相似度衡量的是空间中两向量之间的夹角，体现的是方向上的差异，夹角越小（余弦相似度越大），两向量之间越相似。如果保持A点的位置不变，B点朝原方向延伸，那么这个时候余弦相似度cosθ是保持不变的，因为夹角不变，而A、B两点间的距离显然在发生改变，这就是欧氏距离和余弦相似度的不同之处。

适用场景：

欧氏距离能够体现个体数值特征的绝对差异，所以更多的用于需要从维度的数值大小中体现差异的分析，比如使用用户行为作为指标分析用户价值的相似情况（比较不同用户的消费能力），这属于价值度量；而余弦相似度对绝对数值不敏感，更多的用于使用用户对内容的评分来分析用户兴趣的相似程度（用户是否喜欢某商品），这属于定性度量。

需要注意的是，欧氏距离和余弦相似度都需要保证各维度处于相同的刻度级别（量纲），所以一般需要对数据先进行标准化处理，否则很可能会引起偏差。比如用户对内容评分，假设为5分制，对用户甲来说评分3分以上就是自己喜欢的，而对于用户乙，评分4分以上才是自己喜欢的，这样就无法很好地衡量两个用户评分之间的相似程度。如果将评分数值减去平均值，那么就可以很好地解决问题。此时，就相当于用皮尔逊相关系数来度量相似程度。