[AHOI 2012]树屋阶梯

Description

暑假期间，小龙报名了一个模拟野外生存作战训练班来锻炼体魄，训练的第一个晚上，教官就给他们出了个难题。由于地上露营湿气重，必须选择在高处的树屋露营。小龙分配的树屋建立在一颗高度为N+1尺（N为正整数）的大树上，正当他发愁怎么爬上去的时候，发现旁边堆满了一些空心四方钢材（如图1.1），经过观察和测量，这些钢材截面的宽和高大小不一，但都是1尺的整数倍，教官命令队员们每人选取N个空心钢材来搭建一个总高度为N尺的阶梯来进入树屋，该阶梯每一步台阶的高度为1尺，宽度也为1尺。如果这些钢材有各种尺寸，且每种尺寸数量充足，那么小龙可以有多少种搭建方法？（注：为了避免夜里踏空，钢材空心的一面绝对不可以向上。）

以树屋高度为4尺、阶梯高度N=3尺为例，小龙一共有如图1.2所示的5种

搭 建方法：

Input

一个正整数 N(1≤N≤500)，表示阶梯的高度

Output

一个正整数，表示搭建方法的个数。（注：搭建方法个数可能很大。）

Sample Input

3

Sample Output

5

HINT

1  ≤N≤500

题解

我们令$C_n$表示用$n$个长方形拼成$size$为$n$的三角梯形的方案数。

如题中的图，我们枚举最左下角的点属于哪个长方形。显然有$n$种可能，每种方法又把剩下的部分分成两个三角梯形（$size$可能为$0$）。

显然我们得到

$$C_n = \sum _{i = 0} ^{n-1} C_i * C_{n-1-i}$$

其实就是$Catalan$的递推式，我们用通项公式求$C_n$即可。

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 #include <set>
 #include <map>
 #include <cmath>
 #include <ctime>
 #include <stack>
 #include <queue>
 #include <vector>
 #include <string>
 #include <cstdio>
 #include <cstdlib>
 #include <cstring>
 #include <iostream>
 #include <algorithm>
 #define LL long long
 #define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
 #define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
 #define Abs(x) ((x) < 0 ? (-(x)) : (x))
 using namespace std;
 const int N = ;

 int n;
 struct BIG_NUM {
     int a[N+], len;
     BIG_NUM() {
     }
     BIG_NUM(int* _a, int _len) {
         len = _len;
         for (int i = ; i <= _len; i++) a[i] = _a[i];
     }
     BIG_NUM &operator *= (const int &b) {
         for (int i = ; i <= len; i++) a[i] *= b;
         for (int i = ; i <= len; i++) a[i+] += a[i]/, a[i] %= ;
         int loc = len+;
         while (a[loc]) {
             a[loc+] += a[loc]/; a[loc] %= ; loc++;
         }
         len = loc-;
     }
     BIG_NUM &operator /= (const int &b) {
         int r = , i;
         BIG_NUM ans;
         for (i = len; i >= ; i--) {
             r = r*+a[i];
             if (r >= b) break;
         }
         ans.len = i;
         for (i-- ; i >= ; i--) {
             ans.a[i+] = r/b; r = r%b*+a[i];
         }
         ans.a[] = r/b;
         len = ans.len; for (int i = ; i <= len; i++) a[i] = ans.a[i];
     }
     void print() {
         for (int i = len; i >= ; i--) printf("%d", a[i]);
         printf("\n");
     }
 }A;

 void work() {
     scanf("%d", &n);
     A.len = A.a[] = ;
     for (int i = n+; i <= (n<<); i++) A *= i;
     for (int i = ; i <= n; i++) A /= i;
     A.print();
 }
 int main() {
     work();
     return ;
 }