[网络流24题] 方格取数问题/骑士共存问题 (最大流->最大权闭合图)

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和太空飞行计划问题一样，这依然是一道最大权闭合图问题

“骑士共存问题”是“方格取数问题”的弱化版，本题解不再赘述“骑士共存问题”的做法

分析题目，如果我们能把所有方格的数都给取上，那么总和是一个定值$sum$

而题目要求我们取的数不能相邻，我们要想办法最大化$\sum$取的数$-\sum$没取的数

现在我们找到了一种取数方案，那么$\sum$取的数一定能填补上$\sum$没取的数，而且剩下的数总和$>0$，这样，方案才是有收益的

这不就是最大权闭合图的模型吗？

把每个格子拆成两个点，分别向源点和汇点连边，流量为它的权值，每个格子向四周连流量为$inf$的边

最小割割掉了用于填补的部分，用$sum-$最小割就是净收益了

方格取数问题：

 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <iostream>
 #include <algorithm>
 #define N1 2510
 #define M1 30100
 #define ll long long
 #define dd double
 #define inf 0x3f3f3f3f
 using namespace std;

 int gint()
 {
     int ret=,fh=;char c=getchar();
     while(c<''||c>''){if(c=='-')fh=-;c=getchar();}
     while(c>=''&&c<=''){ret=ret*+c-'';c=getchar();}
     return ret*fh;
 }
 int n,m,nm,S,T;
 int p[N1],c[N1];
 int xx[]={-,,,},yy[]={,,,-};
 struct Edge{
 int head[N1],to[M1<<],nxt[M1<<],flow[M1<<],cte;
 void ae(int u,int v,int F)
 {
     cte++; to[cte]=v; flow[cte]=F;
     nxt[cte]=head[u]; head[u]=cte;
 }
 }e;

 int que[M1],hd,tl,dep[N1],cur[N1];
 int bfs()
 {
     int x,j,v;
     memset(dep,-,sizeof(dep)); memcpy(cur,e.head,sizeof(cur));
     hd=,tl=; que[++tl]=S; dep[S]=;
     while(hd<=tl)
     {
         x=que[hd++];
         for(j=e.head[x];j;j=e.nxt[j])
         {
             v=e.to[j];
             if(dep[v]==-&&e.flow[j]>)
                 dep[v]=dep[x]+, que[++tl]=v;
         }
     }
     return dep[T]!=-;
 }
 int dfs(int x,int limit)
 {
     int j,v,flow,ans=; if(x==T||!limit) return limit;
     for(j=cur[x];j;j=e.nxt[j])
     {
         cur[x]=j; v=e.to[j];
         if( dep[v]==dep[x]+ && (flow=dfs(v,min(e.flow[j],limit))) )
         {
             limit-=flow; ans+=flow;
             e.flow[j]-=flow; e.flow[j^]+=flow;
             if(!limit) break;
         }
     }
     return ans;
 }
 int Dinic()
 {
     int mxflow=;
     while(bfs())
         mxflow+=dfs(S,inf);
     return mxflow;
 }

 int a[N1];
 int check(int x,int y){
     if(x<||y<||x>n||y>m) return ; return ;}
 int id(int x,int y){ return (x-)*m+y; }

 int main()
 {
     scanf("%d%d",&n,&m); nm=n*m;
     int i,j,k,d,da,db,sum=,ans; S=*nm+,T=*nm+; e.cte=;
     for(i=;i<=n;i++) for(j=;j<=m;j++)
     {
         d=id(i,j); a[d]=gint(); sum+=a[d];
         e.ae(S,d,a[d]), e.ae(d,S,);
         e.ae(d+nm,T,a[d]), e.ae(T,d+nm,);
     }
     for(i=;i<=n;i++) for(j=;j<=m;j++)
     {
         da=id(i,j);
         for(k=;k<;k++)
         if(check(i+xx[k],j+yy[k]))
         {
             db=id(i+xx[k],j+yy[k])+nm;
             e.ae(da,db,inf), e.ae(db,da,);
         }
     }
     ans=sum-Dinic();
     printf("%d\n",(sum-ans)/+ans);
     return ;
 }

骑士共存问题： 只需要把点权改成1 加几个特判就行了

 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <iostream>
 #include <algorithm>
 #define L1 205
 #define N1 80050
 #define M1 400010
 #define ll long long
 #define dd double
 #define inf 0x3f3f3f3f
 using namespace std;

 int gint()
 {
     int ret=,fh=;char c=getchar();
     while(c<''||c>''){if(c=='-')fh=-;c=getchar();}
     while(c>=''&&c<=''){ret=ret*+c-'';c=getchar();}
     return ret*fh;
 }
 int n,m,nn,S,T;
 int p[N1],c[N1];
 int xx[]={-,-,,,,,-,-},yy[]={,,,,-,-,-,-};
 struct Edge{
 int head[N1],to[M1<<],nxt[M1<<],flow[M1<<],cte;
 void ae(int u,int v,int F)
 {
     cte++; to[cte]=v; flow[cte]=F;
     nxt[cte]=head[u]; head[u]=cte;
 }
 }e;

 int que[N1],hd,tl,dep[N1],cur[N1];
 int bfs()
 {
     int x,j,v;
     memset(dep,-,sizeof(dep)); memcpy(cur,e.head,sizeof(cur));
     hd=,tl=; que[++tl]=S; dep[S]=;
     while(hd<=tl)
     {
         x=que[hd++];
         for(j=e.head[x];j;j=e.nxt[j])
         {
             v=e.to[j];
             if(dep[v]==-&&e.flow[j]>)
                 dep[v]=dep[x]+, que[++tl]=v;
         }
     }
     return dep[T]!=-;
 }
 int dfs(int x,int limit)
 {
     int j,v,flow,ans=; if(x==T||!limit) return limit;
     for(j=cur[x];j;j=e.nxt[j])
     {
         cur[x]=j; v=e.to[j];
         if( dep[v]==dep[x]+ && (flow=dfs(v,min(e.flow[j],limit))) )
         {
             limit-=flow; ans+=flow;
             e.flow[j]-=flow; e.flow[j^]+=flow;
             if(!limit) break;
         }
     }
     return ans;
 }
 int Dinic()
 {
     int mxflow=;
     while(bfs())
         mxflow+=dfs(S,inf);
     return mxflow;
 }

 int mp[L1][L1];
 int check(int x,int y){
     if(x<||y<||x>n||y>n||mp[x][y]) return ; return ;}
 int id(int x,int y){ return (x-)*n+y; }

 int main()
 {
     scanf("%d%d",&n,&m); nn=n*n;
     int i,j,k,d,da,db,x,y,sum=,ans; S=*nn+,T=*nn+; e.cte=;
     for(i=;i<=m;i++) x=gint(), y=gint(), mp[x][y]=;
     for(i=;i<=n;i++) for(j=;j<=n;j++)
     {
         if(mp[i][j]) continue; d=id(i,j); sum++;
         e.ae(S,d,), e.ae(d,S,);
         e.ae(d+nn,T,), e.ae(T,d+nn,);
     }
     for(i=;i<=n;i++) for(j=;j<=n;j++)
     {
         if(mp[i][j]) continue; da=id(i,j);
         for(k=;k<;k++)
         if(check(i+xx[k],j+yy[k]))
         {
             db=id(i+xx[k],j+yy[k])+nn;
             e.ae(da,db,inf), e.ae(db,da,);
         }
     }
     ans=sum-Dinic();
     printf("%d\n",(sum-ans)/+ans);
     return ;
 }