NOI 2016 优秀的拆分 (后缀数组+差分)

题目大意：给你一个字符串，求所有子串的所有优秀拆分总和，优秀的拆分被定义为一个字符串可以被拆分成4个子串，形如$AABB$，其中$AA$相同，$BB$相同，$AB$也可以相同

作为一道国赛题，95分竟然就这么给我们了！只是一个$NOIP$难度的哈希套$DP$啊......

95分就是从后往前找，统计$AA$串，每次统计一下从这个位置开始的所有子串 和 紧随其后的等长串 相同的个数$sum$

$hash(i,i+j-1)==hash(i+j,i+2*j-1) sum[i]++$

然后再统计$BB$串，就是加上在这两个串之后的位置的$sum$值，这样就统计出了合法拆分数

$dp[i]+=sum[i+2*j]$

95分就这样到手啦，竟然连自然溢出hash都不卡

 #include <cmath>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <algorithm>
 #define ll long long
 #define ull unsigned long long
 #define N 2050
 #define seed 233
 #define idx(x) (x-'a'+1)
 using namespace std;
 //re
 int T,len;
 char str[N];
 int dp[N],sum[N];
 ull hsh[N],sp[N];
 ull ghsh(int x,int y) {return hsh[y]-hsh[x-]*sp[y-x+];}
 void clr()
 {
     memset(dp,,sizeof(dp));
     memset(sp,,sizeof(sp));
     memset(sum,,sizeof(sum));
     memset(hsh,,sizeof(hsh));
 }
 int main()
 {
     scanf("%d",&T);
     while(T--)
     {
         clr();
         scanf("%s",str+);
         len=strlen(str+);
         sp[]=;
         for(int i=;i<=len;i++)
             hsh[i]=hsh[i-]*seed+idx(str[i]),
             sp[i]=sp[i-]*seed;
         for(int i=len-;i>=;i--)
         {
             for(int j=;i+*j-<=len;j++)
             {
                 if(ghsh(i,i+j-)==ghsh(i+j,i+*j-)){
                     dp[i]++;
                     sum[i]+=dp[i+*j];
                 }
             }
         }
         int ans=;
         for(int i=;i<=len;i++)
             ans+=sum[i];
         printf("%d\n",ans);
     }
     return ;
 }

接下来才是本题的重点！$NOI$岂是你想$AK$就$AK$的！出题人可能是想针对某位巨佬

不看题解这个正解思路真是很难想到......

思路大概是这样的，其实我们每次只需要统计$AA$串的数量就行了，因为$AABB$串的数量等于，在$i-1$位结束的$AA$串的数量乘以在第$i$位开始的$AA$串的数量，用公式表示就是

接下来就是统计$st$和$ed$了，感觉正解的思路很神

先用后缀数组+$ST$表处理出任意两个位置，作为后缀串开头的$LCP$以及作为前缀串末尾的$LCS$，求$LCS$可以把串反着读再去套$SA$

每次选取一个$A$串的长度$len$，再在原串每隔$len$的位置设一个关键点

然后会发现一个神奇的性质，任意一个长度为$2*len$的串必然经过且仅经过2个关键点！

接下来统计经过所有长度为$2*len$所有$AA$串，比如选定两个关键点$a,b$，且$a+len=b$

如果把$a$的和b$相同的前缀和后缀拼在一起，且拼完之后长度>=len，说明存在至少一个$AA$串

可以把$AA$串想象成一个块，在两个关键点上移动，块的左端点不能大于$a$，块的右端点不能小于$b$，块不能移动到上一个或者下一个关键点的位置，块内必须是$AA$串，这样，块所有能移动的位置-块的长度$len$，就是经过$ab$两个关键点的所有$AA$串数

时间变成，$logn$是调和级数的近似值

细节比较多需要仔细思考

 #include <cmath>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <algorithm>
 #define ll long long
 #define N 30100
 #define seed 233
 #define idx(x) (x-'a'+1)
 using namespace std;
 //re
 int T,len;
 int lg[N];
 ll st[N],ed[N],S[N],E[N];
 struct suffix{
     char str[N];
     int sa[N],tr[N],rk[N],hs[N],h[N],f[N][],len;
     bool check(int k,int x,int y){
         if(x+k>len||y+k>len) return ;
         else return (rk[x]==rk[y]&&rk[x+k]==rk[y+k])?:;
     }
     void get_suffix()
     {
         int cnt=,i;len=strlen(str+);
         for(i=;i<=len;i++) hs[str[i]]++;
         for(i=;i<=;i++) if(hs[i]) tr[i]=++cnt;
         for(i=;i<=;i++) hs[i]+=hs[i-];
         for(i=;i<=len;i++) rk[i]=tr[str[i]],sa[hs[str[i]]--]=i;
         for(int k=;cnt<len;k<<=)
         {
             for(i=;i<=cnt;i++) hs[i]=;
             for(i=;i<=len;i++) hs[rk[i]]++;
             for(i=;i<=cnt;i++) hs[i]+=hs[i-];
             for(i=len;i>=;i--) if(sa[i]>k) tr[sa[i]-k]=hs[rk[sa[i]-k]]--;
             for(i=;i<=k;i++) tr[len-i+]=hs[rk[len-i+]]--;
             for(i=;i<=len;i++) sa[tr[i]]=i;
             for(i=,cnt=;i<=len;i++) tr[sa[i]]=check(k,sa[i],sa[i-])?cnt:++cnt;
             for(i=;i<=len;i++) rk[i]=tr[i];
         }
         for(i=;i<=len;i++)
         {
             if(rk[i]==) continue;
             for(int j=max(,h[rk[i-]]-);;j++)
                 if(str[i+j-]==str[sa[rk[i]-]+j-]) h[rk[i]]=j;
                 else break;
         }
     }
     void get_ST()
     {
         for(int i=;i<=len;i++)
             f[i][]=h[i];
         for(int k=;(<<k)<=len;k++)
             for(int i=;i+(<<k)-<=len;i++)
                 f[i][k]=min(f[i][k-],f[i+(<<(k-))][k-]);
     }
     int query(int x,int y)
         {int L=y-x+;
         return min(f[x][lg[L]],f[y-(<<lg[L])+][lg[L]]);}
 }p,s;
 void clr()
 {
     memset(S,,sizeof(S)),memset(st,,sizeof(st));
     memset(E,,sizeof(E)),memset(ed,,sizeof(ed));
     memset(&p,,sizeof(p)),memset(&s,,sizeof(s));
 }
 int main()
 {
     scanf("%d",&T);
     for(int i=;i<=;i++)
         lg[i]=lg[i>>]+;
     while(T--)
     {
         clr();
         scanf("%s",s.str+);
         int len=strlen(s.str+);
         for(int i=;i<=len;i++)
             p.str[i]=s.str[len-i+];
         s.get_suffix();
         s.get_ST();
         p.get_suffix();
         p.get_ST();
         int sx,sy,px,py,ss,sp,l,r;
         for(int i=;i<=len;i++)
         {
             for(int j=i+;j<=len;j+=i)
             {
                 sx=s.rk[j-i+],sy=s.rk[j+];
                 if(sx>sy) swap(sx,sy);
                 px=p.rk[len-(j-i)+],py=p.rk[len-j+];
                 if(px>py) swap(px,py);
                 ss=s.query(sx+,sy);
                 sp=p.query(px+,py);
                 if(ss+sp<i||sp==) continue;
                 l=max(j-i-i+,j-i-sp+);
                 r=min(j+i-,j+ss);
                 S[l]++,S[r-*i+]--;
                 E[l+*i-]++,E[r+]--;
             }
         }
         for(int i=;i<=len;i++)
             st[i]=st[i-]+S[i],ed[i]=ed[i-]+E[i];
         ll ans=;
         for(int i=;i<=len;i++)
             ans+=ed[i-]*st[i];
         printf("%lld\n",ans);
     }
     return ;
 }