[bzoj2989]数列_KD-Tree_旋转坐标系

数列 bzoj-2989

题目大意：题目链接。

注释：略。

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想法：显然，我们用x和a[x]两个值建立笛卡尔坐标系。

两个点之间的距离为曼哈顿距离。

修改操作就是插入...

查询操作就是查询一个点周围的斜正方形的点数。

而斜正方形的复杂度是没有办法保证的。

所以，我们旋转坐标系。

每个点都变成了$\frac{x+y}{\sqrt{2}}$和$\frac{x-y}{\sqrt{2}}$。

有根号我们没有办法处理，所以我们直接乘以根号2。

乘完了之后，旋转后的坐标系上两个点之间的切比雪夫距离就等于原来的曼哈顿距离。

所以我们直接查询周围的正方形即可。

最后，附上丑陋的代码... ...

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 100010
using namespace std;
int d,root,g[N];
struct Node
{
	int c[2],minn[2],p[2],maxn[2],sum;
}a[N];
inline void pushup(int x)
{
	int ls=a[x].c[0],rs=a[x].c[1];
	a[x].minn[0]=min(a[x].p[0],min(a[ls].minn[0],a[rs].minn[0]));
	a[x].minn[1]=min(a[x].p[1],min(a[ls].minn[1],a[rs].minn[1]));
	a[x].maxn[0]=max(a[x].p[0],max(a[ls].maxn[0],a[rs].maxn[0]));
	a[x].maxn[1]=max(a[x].p[1],max(a[ls].maxn[1],a[rs].maxn[1]));
	a[x].sum=a[ls].sum+a[rs].sum+1;
}
inline bool cmp(const Node &a,const Node &b)
{
	return a.p[d]==b.p[d]?a.p[d^1]<b.p[d^1]:a.p[d]<b.p[d];
}
int build(int l,int r,int now)
{
	int mid=(l+r)>>1;
	d=now; nth_element(a+l,a+mid,a+r+1,cmp);
	a[mid].minn[0]=a[mid].maxn[0]=a[mid].p[0];
	a[mid].minn[1]=a[mid].maxn[1]=a[mid].p[1];
	a[mid].c[0]=a[mid].c[1]=0;
	if(l<mid) a[mid].c[0]=build(l,mid-1,now^1);
	if(mid<r) a[mid].c[1]=build(mid+1,r,now^1);
	pushup(mid);
	return mid;
}
void insert(int &k , int x)
{
	if(!k) k=x;
	else if(a[k].p[d]<a[x].p[d]||(a[k].p[d]==a[x].p[d]&&a[k].p[d^1]<a[x].p[d^1])) d^=1,insert(a[k].c[0],x);
	else d^=1,insert(a[k].c[1],x);
	pushup(k);
}
inline int judge(int k,int x1,int y1,int x2,int y2)
{
	if(!k||a[k].maxn[0]<x1||a[k].maxn[1]<y1||a[k].minn[0]>x2||a[k].minn[1]>y2) return -1;
	if(a[k].minn[0]>=x1&&a[k].maxn[0]<=x2&&a[k].minn[1]>=y1&&a[k].maxn[1]<=y2) return 1;
	return 0;
}
int query(int k,int x1,int y1,int x2,int y2)
{
	int opt=judge(k,x1,y1,x2,y2);
	if(opt==1) return a[k].sum;
	if(opt==-1) return 0;
	int ans=(a[k].p[0]>=x1&&a[k].p[1]>=y1&&a[k].p[0]<=x2&&a[k].p[1]<=y2);
	return ans+query(a[k].c[0],x1,y1,x2,y2)+query(a[k].c[1],x1,y1,x2,y2);
}
int main()
{
	char str[10];
	a[0].maxn[0]=a[0].maxn[1]=-1<<30,a[0].minn[0]=a[0].minn[1]=1<<30;
	int n,m,x,y;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&g[i]),a[i].p[0]=i-g[i],a[i].p[1]=i+g[i];
	root=build(1,n,0);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%s%d%d",str,&x,&y);
		if(str[0]=='M')g[x]=y,a[++n].p[0]=x-y,a[n].p[1]=x+y,insert(root,n);
		else printf("%d\n",query(root,x-g[x]-y,x+g[x]-y,x-g[x]+y,x+g[x]+y));
	}
	return 0;
}

小结：笛卡尔坐标系上的曼哈顿距离等于顺时针45的笛卡尔坐标系上的切比雪夫距离。