【学习笔记】fwt&&fmt&&子集卷积

• 前言：yyb神仙的博客

FWT

基本思路：将多项式变成点值表达，点值相乘之后再逆变换回来得到特定形式的卷积；

多项式的次数界都为\(2^n\)的形式，\(A_0\)定义为前一半多项式(下标二进制第一位为\(0\))，\(A_1\)同理定义；

\((A,B)\)表示多项式\(A\)和\(B\)的直接拼接,FWT的结果都是一个点值表达，相乘表示点值相乘；

下面这些变换都满足线性，记\(n\)为二进制位数，复杂度：\(O(n\times 2^n)\)；

or卷积

• 形式：

  \[(A|B)_{k} = \sum_{i|j=k}A_i\times B_j
  \]

• 定义变换：

  \[FWT(A) = (FWT(A_0),FWT(A_0+A_1))
  \]

  则：\(FWT(A|B)=FWT(A) \times FWT(B)\)

• 归纳证明：

• 注意到\(A|B=(A_0|B_0,A_0|B_1+A_1|B_0+A_1|B_1)\) ;

  \[\begin{align}
  &FWT(A|B)\\
  &=FWT(A_0|B_0,A_0|B_1+A_1|B_0+A_1|B_1)\\
  &=(FWT(A_0|B_0),FWT(A_0|B_0+A_0|B_1+A_1|B_0+A_1|B_1))\\
  &=(FWT(A_0)\times FWT(B_0),FWT(A_0)\times FWT(B_0)+FWT(A_0)
  \\ &\times FWT(B_1)+FWT(A_1)\times FWT(B_0)+FWT(A_1)\times FWT(B_1))\\
  &=(FWT(A_0),FWT(A_0+A_1))\times(FWT(B_0),FWT(B_0+B_1))\\
  &=FWT(A)\times FWT(B)
  \end{align}
  \]

• 逆变换：

  \[IFWT(A) = (IFWT(A_0),IFWT(A_1-A_0))
  \]

• 代码：

void fwt(int*A,int F){
   	for(int i=1;i<n;i<<=1)
    for(int j=0;j<n;j+=i<<1)
    for(int k=0;k<i;++k){
        if(~F)A[j+k+i]=(A[j+k+i]+A[j+k])%mod;
    	else A[j+k+i]=(A[j+k+i]-A[j+k]+mod)%mod;
    }
}

and卷积

• 形式：

  \[(A\&B)_{k} = \sum_{i\&j=k}A_i\times B_j
  \]

• 定义变换：

  \[FWT(A) = (FWT(A_0+A_1),FWT(A_1))
  \]

  则：\(FWT(A\&B)=FWT(A) \times FWT(B)\)

• 归纳证明：

  注意到：\(A\&B=(A_0\&B_0+A_0\&B_1+A_1\&B_0,A_1\&B_1)\)

  同理．．

• 逆变换：

  \[IFWT(A)=(IFWT(A_0-A_1),IFWT(A_1))
  \]

• 代码

  void fwt(int*A,int F){
     	for(int i=1;i<n;i<<=1)
      for(int j=0;j<n;j+=i<<1)
      for(int k=0;k<i;++k){
          if(~F)A[j+k]=(A[j+k]+A[j+k+i])%mod;
      	else A[j+k]=(A[j+k]-A[j+k+i]+mod)%mod;
      }
  }
  

xor卷积

• 形式

  \[(A \oplus B)_{k} = \sum_{i \oplus j=k}A_i\times B_j
  \]

• 定义变换：

  \[FWT(A) = (FWT(A_0+A_1),FWT(A_0-A_1))
  \]

  则：\(FWT(A \oplus B)=FWT(A) \times FWT(B)\)

• 归纳证明：

  注意到：\(A \oplus B=(A_0 \oplus B_0+A_1\oplus B_1 ,A_0\oplus B_1+A_1\oplus B_0)\)

  同理．．

• 逆变换：

  \[IFWT(A)=(IFWT(A_0+A_1)/2,IFWT(A_0-A_1)/2)
  \]

• 代码：

  void fwt(int*A,int F){
     	for(int i=1;i<n;i<<=1)
      for(int j=0;j<n;j+=i<<1)
      for(int k=0;k<i;++k){
          int x=A[j+k],y=A[j+k+i];
          A[j+k]=(x+y)%mod,A[j+k+i]=(x-y+mod)%mod;
      	if(!~F)A[j+k]=(ll)A[j+k]*iv2%mod,A[j+k+i]=(ll)A[j+k+i]*iv2%mod;
      }
  }
  

FMT

基本思路：将二进制的每一位看成一维，枚举每一维做前缀和就可以得到集合的前缀和；

直接上代码了．．．．．．

子集前缀和(= or)

for(int i=0;i<n;++i)
for(int j=1<<i;j<1<<n;++j)
    if(j>>i&1)f[j]+=f[j^(1<<i)];

超集前缀和(= and)

for(int i=0;i<n;++i)
for(int j=(1<<n)-1;j>=1<<i;--j)
    if(j>>i&1)f[j^(1<<i)]+=f[j];

fmt的逆变换只需要将第二维反过来减即可；

优点是代码短，常数小，复杂度也是\(O(n \times 2^n)\)

子集卷积和

• \(S,T\)是集合，求\(C:C_S = \sum_{S \subset T} A_T \times B_{S-T}\) 　

• 设\(A_{i,S}=[|S|=i]\times A_S\)

• 令\(C_i = \sum_{j\le i} A_{j}|B_{i-j}\)

• 这样就把问题变成了or卷积

• 由于我们只关心满足\(|T|=i\)的\(C_{i,T}\)，所以是不会多算的；

• 时间复杂度:\(O(n^2 \times 2^n)\)

• 【WC2018】州区划分

  #include<bits/stdc++.h>
  #define ll long long
  #define mod 998244353
  #define rg register
  #define il inline
  using namespace std;
  const int N=22;
  int n,m,p,f[N][1<<N],g[N][1<<N],d[N],fa[N],all,ny[3010];
  int w[1<<N],cnt[1<<N],iw[1<<N],e[N];
  il void inc(int&x,int y){x+=y;if(x>=mod)x-=mod;}
  il void dec(int&x,int y){x-=y;if(x<0)x+=mod;}
  il void fwt(int*A,int F){
  	if(~F){
  		for(rg int i=0;i<n;++i)
  		for(rg int x=1<<i,j=x;j<all;++j)
  		if(j&x)inc(A[j],A[j^x]);
  	}else{
  		for(rg int i=0;i<n;++i)
  		for(rg int x=1<<i,j=all-1;~j;--j)
  		if(j&x)dec(A[j],A[j^x]);
  	}
  }
  int find(int x){return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);}
  il bool check(int S){
  	for(rg int i=0;i<n;++i)fa[i]=i,d[i]=0;
  	for(int i=0;i<n;++i)if(S>>i&1)
  	for(int j=i+1;j<n;++j)if(S>>j&1){
  		if(!(e[i]>>j&1))continue;
  		d[i]++,d[j]++;
  		int fu=find(i),fv=find(j);
  		if(fu!=fv)fa[fu]=fv;
  	}
  	int lst=-1;
  	for(rg int i=0;i<n;++i)if(S>>i&1){
  		if(!~lst)lst=find(i);
  		if(lst!=find(i) || (d[i]&1))return true;
  	}
  	return false;
  }
  il int val(int x){
  	if(!p)return 1;
  	if(p&1)return x;
  	return (ll)x*x%mod;
  }
  int main(){
  //	freopen("walk.in","r",stdin);
  //	freopen("walk.out","w",stdout);
  	scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);all=1<<n;
  	for(rg int i=0;i<m;++i){
  		int u,v;
  		scanf("%d%d",&u,&v),u--,v--;
  		e[u]|=1<<v;e[v]|=1<<u;
  	}
  	for(rg int i=0;i<n;++i)scanf("%d",&w[1<<i]);
  	ny[1]=1;for(rg int i=2;i<=2100;++i)ny[i]=(ll)(mod-mod/i)*ny[mod%i]%mod;
  	fwt(w,1);
  	for(rg int i=0;i<all;++i){
  		iw[i]=ny[w[i]];
  		iw[i]=val(iw[i]);
  		w[i]=val(w[i]);
  		cnt[i]=cnt[i>>1]+(i&1);
  	}
  	for(rg int i=0;i<all;++i)if(check(i))g[cnt[i]][i]=w[i];
  	for(rg int i=0;i<=n;++i)fwt(g[i],1);
  	f[0][0]=1;fwt(f[0],1);
  	for(rg int i=1;i<=n;++i){
  		int *F=f[i];//不加寻址优化是会T的
  		for(rg int j=1;j<=i;++j){
  			int *a=f[i-j],*b=g[j];
  			for(rg int k=0;k<all;++k){
  				inc(F[k],(ll)a[k]*b[k]%mod);
  			}
  		}
  		fwt(F,-1);
  		for(rg int j=0;j<all;++j)F[j]=cnt[j]==i?(ll)F[j]*iw[j]%mod:0;
  		if(i!=n)fwt(f[i],1);
  	}
  	cout<<f[n][all-1]<<endl;
  	return 0;
  }