bzoj1318[spoj 744] Longest Permutation

题意

给出一个长度为n的,所有元素大小在[1,n]的整数数列,要求选出一个尽量长的区间使得区间内所有元素组成一个1到区间长度k的排列,输出k的最大值

n<=1e5

分析

不会做,好菜啊.jpg

学习了西方那一套理论,里面别人的题解写得挺吼的但是没多少人点赞23333.

外来的和尚好念经

一个合法排列必然包括一个1.那么我们可以枚举这个1的位置,既然包含了这个1就不能包含其他的1,所以我们可以找出这个1左边的第一个1的位置L(如果没有就是0)和右边的第一个1的位置R(如果没有就是n+1).包括这个1的排列左端不能超过L+1,右端不超过R-1.

于是我们把问题转化成若干个子问题,每个子问题处理的区间中只有一个1.所有子问题的区间总长之和是O(n)的,因为原序列中的每个位置只会对最多两个子问题贡献1的区间长度.

现在考虑怎样解决一个子问题.

一个长度为L的序列如果合法,那么序列中的最大值等于L且序列中没有重复元素.

在一个子问题中,区间内只有一个1,那么选出的序列必然包含这个1,而选出的序列中的最大值可以在这个1的左侧,也可以在这个1的右侧.由对称性,只考虑最大值在左侧的情况.在右侧的情况反着跑一遍就行.

如果最大值在左侧,我们可以枚举选出的序列的左端点l,那么从1的位置一直到l的最大值就是1左侧的最大值,因为我们假设最大值在1的左侧,所以现在我们也认为这个最大值是整个选出的序列的最大值.那么选出的序列的长度也就确定了,序列的右端点r也就确定了,我们只需判断[l,r]是不是一个合法的区间.也就是判一下[l,r]的最大值是不是在1的位置的左侧,判一下[l,r]中是否有重复元素.如果是合法的,就用r-l+1更新答案.

求最大值只需要预处理Max[i]表示从1所在的位置一直到i的最大值.

判断[l,r]是否有重复元素只需预处理lsame[i]表示i左侧第一个数值和a[i]相等的位置,如果l<=i<=r的所有i中存在一个i使得lsame[i]>=l,那么有重复元素,否则没有.

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn=300005;
int a[maxn];
int lsame[maxn],rsame[maxn];
int pos[maxn];
int ans=0;
int Max[maxn],MaxLsame[maxn];
void work(int s,int L,int R){
  if(ans==0)ans=1;
  Max[s]=a[s];
  for(int i=s-1;i>=L;--i)Max[i]=max(Max[i+1],a[i]);
  for(int i=s+1;i<=R;++i)Max[i]=max(Max[i-1],a[i]);
  MaxLsame[s]=lsame[s];
  for(int i=s-1;i>=L;--i)MaxLsame[i]=max(MaxLsame[i+1],lsame[i]);
  for(int i=s+1;i<=R;++i)MaxLsame[i]=max(MaxLsame[i-1],lsame[i]);
  for(int i=s-1;i>=L;--i){//maximum number left of s
    if(MaxLsame[i]>=i)continue;
    int length=Max[i];
    int r=i+length-1;
    if(r>R)continue;
    if(MaxLsame[r]>=i||Max[r]>=Max[i])continue;
    if(length>ans)ans=length;
  }
  for(int i=s+1;i<=R;++i){//maximum number right of s
    if(MaxLsame[i]>=s)continue;
    int length=Max[i];
    int l=i-length+1;
    if(l<L)continue;
    if(MaxLsame[l]>=l||MaxLsame[i]>=l||Max[l]>=Max[i])continue;
    if(length>ans)ans=length;
  }
}
int main(){
  int n;scanf("%d",&n);
  for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",a+i);
  for(int i=1;i<=n;++i){
    lsame[i]=pos[a[i]];pos[a[i]]=i;
  }
  for(int i=1;i<=n;++i)pos[i]=n+1;
  for(int i=n;i>=1;--i){
    rsame[i]=pos[a[i]];pos[a[i]]=i;
  }
  for(int i=1;i<=n;++i){
    if(a[i]==1){
      work(i,lsame[i]+1,rsame[i]-1);
    }
  }
  printf("%d\n",ans);
  return 0;
}