2023牛客寒假算法基础集训营2 ABCDEFHJKL

比赛链接

A

题解

知识点：数学。

用 \(n\) 减去区间1的端点得到匹配的一个区间，求一下与区间2的交集。

一个小公式，两区间 \([L_1,R_1]\) 和 \([L_2,R_2]\) 的交集长度为 \(\max(0, \min(R_1, R_2) - \max(L_1, L_2) + 1)\) 。

时间复杂度 \(O(1)\)

空间复杂度 \(O(1)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>
using ll = long long;
using namespace std;

bool solve() {
    int n;
    cin >> n;
    int l1, r1, l2, r2;
    cin >> l1 >> r1 >> l2 >> r2;
    int y = n - l1, x = n - r1;
    cout << max(0, min(y, r2) - max(x, l2) + 1) << '\n';
    return true;
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int t = 1;
    cin >> t;
    while (t--) {
        if (!solve()) cout << -1 << '\n';
    }
    return 0;
}

B

题解

知识点：数学。

用 \(n\) 减去区间1的端点得到匹配的一个区间，求一下与区间2的交集。

一个小公式，两区间 \([L_1,R_1]\) 和 \([L_2,R_2]\) 的交集长度为 \(\max(0, \min(R_1, R_2) - \max(L_1, L_2) + 1)\) 。

时间复杂度 \(O(1)\)

空间复杂度 \(O(1)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>
using ll = long long;
using namespace std;

bool solve() {
    int n;
    cin >> n;
    int l1, r1, l2, r2;
    cin >> l1 >> r1 >> l2 >> r2;
    int y = n - l1, x = n - r1;
    cout << max(0, min(y, r2) - max(x, l2) + 1) << '\n';
    return true;
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int t = 1;
    cin >> t;
    while (t--) {
        if (!solve()) cout << -1 << '\n';
    }
    return 0;
}

C

题解

知识点：枚举，差分，前缀和。

枚举每个区间 \([L,R]\) 的匹配区间 \([n-R,n-L]\) ，匹配区间的每个点被其他区间覆盖的次数总和。

我们可以预处理出每个点被区间覆盖的次数 \(d_i\) ，可以用差分再前缀和得到。对此，再做一次前缀和，就可以快速得到 \([n-R,n-L]\) 每个点被所有区间覆盖的次数总和， \(d_{n-L} - d_{n-R-1}\) 。

再减去与 \([L,R]\) 重合部分的一段，可以用公式 \(\max(0, \min(R, n-L) - \max(L, n-R) + 1)\) 。

要注意先特判 \(n-R>2\times 10^5\) 和 \(n-L<0\) 的无交集情况。

之后，再处理 \(n-L>2 \times 10^5\) 和 \(n-R<1\) 的越界情况。

时间复杂度 \(O(2 \cdot 10^5 \cdot m)\)

空间复杂度 \(O(2 \cdot 10^5 + m)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>
using ll = long long;
using namespace std;

const int P = 998244353;
int L[400007], R[400007];
ll d[200007];
int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1;i <= m;i++) {
        cin >> L[i] >> R[i];
        d[L[i]]++;
        d[R[i] + 1]--;
    }
    for (int i = 1;i <= 2e5;i++) d[i] += d[i - 1];
    for (int i = 1;i <= 2e5;i++) d[i] += d[i - 1];
    ll ans = 0;
    for (int i = 1;i <= m;i++) {
        int y = n - L[i], x = n - R[i];
        if (y <= 0 || x > 2e5) continue;
        x = max(x, 1);
        y = min(y, 200000);
        ans = ans + d[y] - d[x - 1] - max(0, min(y, R[i]) - max(x, L[i]) + 1);
        ans %= P;
    }
    cout << ans << '\n';
    return 0;
}

D

题解

知识点：贪心。

一个节点的深度就是这个节点的能量能被获取的次数，显然深度越大的节点能量应该越大，所以直接求完深度从小到大排序，能量也从小到大排序，乘在一起加起来就行。

因为 \(1 \leq f_i \leq i-1\) ，所以可以直接求出每个点的深度，不需要树形dp。

时间复杂度 \(O(n \log n)\)

空间复杂度 \(O(n)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>
using ll = long long;
using namespace std;

const int N = 200007;

int a[N];
int dep[N];

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int n;
    cin >> n;
    dep[1] = 1;
    for (int i = 2;i <= n;i++) {
        int f;
        cin >> f;
        dep[i] = dep[f] + 1;
    }
    for (int i = 1;i <= n;i++) cin >> a[i];
    sort(a + 1, a + n + 1);
    sort(dep + 1, dep + n + 1);
    ll ans = 0;
    for (int i = 1;i <= n;i++) {
        ans += 1LL * dep[i] * a[i];
    }
    cout << ans << '\n';
    return 0;
}

E

题解

知识点：数学，二分。

通过一些不容易的证明，可以知道全局最小值一定出现在 \(\left\lfloor \sqrt n \right\rfloor,\left\lceil \sqrt n \right\rceil\) 两个点。

具体的，我们考虑 \(g(x) = \dfrac{n}{x} + x - 1\) 容易知道 \(\sqrt n\) 就是最小值点，但对于 \(f(x) = \left\lfloor \dfrac{n}{x} \right\rfloor + x - 1\) ，考虑 \(\sqrt n\) 两边的变化率。若 \(x \in \Z^+\) ， \(\sqrt n\) 右侧 \(\dfrac{n}{x}\) 的减量小于 \(x\) 的增量，所以 \(\left\lfloor \dfrac{n}{x} \right\rfloor\) 的减量小于等于 \(x\) 增量；左侧 \(\dfrac{n}{x}\) 的增量大于 \(x\) 的减量，所以 \(\left\lfloor \dfrac{n}{x} \right\rfloor\) 的增量大于等于 \(x\) 减量，所以全局最小值一定出现在 \(\left\lfloor \sqrt n \right\rfloor,\left\lceil \sqrt n \right\rceil\) 两个点，就可以比较得出最小值所在点了。

设全局最小值点为 \(x\) ，若 \(L \geq x\) 显然答案为 \(L\) 。

否则，考虑区间 \([L,R]\) 的局部最小值点，因为 \([1,x]\) 递减，所以局部最小值点为 \(t = \min(R,x)\) ，我们在 \([1,t]\) 内二分找到最左侧的最小值点即可。

注意这道题直接三分不行，考虑三分：

2211222|2222222|2222222
2222222|2222222|2221122

显然此时我们就无法判断是向左还是向右收缩。当然可以动用人类智慧，三分找到个局部点左右枚举 \(1000\) 个数qwq。

时间复杂度 \(O(\log n)\)

空间复杂度 \(O(1)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>
using ll = long long;
using namespace std;

ll n, L, R;
ll x;
ll f(ll x) {
    return n / x + x - 1;
}

bool check(ll mid) {
    return f(mid) - f(x) > 0;
}

bool solve() {
    cin >> n >> L >> R;
    x = sqrt(n);
    x = f(x) <= f(x + 1) ? x : x + 1;//全局最小值点
    if (L >= x) cout << L << '\n';
    else {
        x = min(R, x);//[L,R]的最小值点
        ll l = L, r = x;
        while (l <= r) {
            ll mid = l + r >> 1;
            if (check(mid)) l = mid + 1;
            else r = mid - 1;
        }
        cout << l << '\n';
    }
    return true;
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int t = 1;
    cin >> t;
    while (t--) {
        if (!solve()) cout << -1 << '\n';
    }
    return 0;
}

F

题解

知识点：BFS。

找到同时能到起点和终点的点即可，于是从起点和终点分别搜索。

时间复杂度 \(O(n)\)

空间复杂度 \(O(n)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>
using ll = long long;
using namespace std;

int n, k;
bool dt[500007][10];

struct node {
    int x, y;
};
queue<node> q;
void bfs(node st, vector<vector<int>> &vis, vector<vector<int>> &dir) {
    vis[st.x][st.y] = 1;
    q.push(st);
    while (!q.empty()) {
        node cur = q.front();
        q.pop();
        for (int i = 0;i < 2;i++) {
            int xx = cur.x + dir[i][0];
            int yy = cur.y + dir[i][1];
            if (xx <= 0 || xx > n || yy <= 0 || yy > 3 || vis[xx][yy] || dt[xx][yy]) continue;
            vis[xx][yy] = 1;
            q.push({ xx,yy });
        }
    }
}

bool solve() {
    cin >> n >> k;
    for (int i = 1;i <= n;i++) dt[i][1] = dt[i][2] = dt[i][3] = 0;
    for (int i = 1;i <= k;i++) {
        int x, y;
        cin >> x >> y;
        dt[x][y] ^= 1;
    }
    vector<vector<int>> vis1(n + 1, vector(4, 0));
    vector<vector<int>> vis2(n + 1, vector(4, 0));
    vector<vector<int>> dir1 = { {1,0},{0,1} };
    vector<vector<int>> dir2 = { {-1,0},{0,-1} };
    bfs({ 1,1 }, vis1, dir1);
    bfs({ n,3 }, vis2, dir2);
    if (!vis1[n][3]) cout << 0 << '\n';
    else {
        int ans = 0;
        for (int i = 1;i <= n;i++) {
            for (int j = 1;j <= 3;j++) {
                if (vis1[i][j] && vis2[i][j]) ans++;
            }
        }
        cout << ans - 1 << '\n';
    }
    return true;
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int t = 1;
    cin >> t;
    while (t--) {
        if (!solve()) cout << -1 << '\n';
    }
    return 0;
}

H

题解

方法一

知识点：枚举，差分，贪心。

因为分成子序列，因此可以随意分配，我们优先把一个数字分在一个序列里，剩下的分在同一个。

因此，我们可以先求出每个数字的出现次数，再考虑出现次数对答案的贡献：

k/贡献/出现次数	1	2	3	4	5
1	1	0	0	0	0
2	1	2	1	1	1
3	1	2	3	2	2
4	1	2	3	4	3
5	1	2	3	4	5

我们发现规律 \(k<cnt\) 时为 \(k-1\) ，否则为 \(cnt\) 。

我们对此进行两次差分得到表格：

k/贡献二次差分/出现次数	1	2	3	4	5
1	1	0	0	0	0
2	-1	2	1	1	1
3	0	-2	1	0	0
4	0	0	-2	1	0
5	0	0	0	-2	1

我们在 \(ans_2 ,ans_{cnt}\) 处加 \(1\) ， \(ans_{cnt+1}\) 处减一即可。

最后前缀和两次，就是答案了。

时间复杂度 \(O(n + 10^5)\)

空间复杂度 \(O(n+10^5)\)

方法二

知识点：枚举，贪心，前缀和，二分。

利用上面发现的规律：

\(k<cnt\) 时为 \(k-1\) ，否则为 \(cnt\) 。

我们先求出每个数字出现的次数，然后按照次数从小到大排序，随后枚举 \(k\) 。

我们用二分找到 \(cnt > k\) 的位置，于是 \(cnt\leq k\) 的部分为 \(cnt\) 用前缀和得到总和，否则就是个数乘 \(k-1\) 。

时间复杂度 \(O(n \log 10^5)\)

空间复杂度 \(O(n + 10^5)\)

代码

方法一

#include <bits/stdc++.h>
using ll = long long;
using namespace std;

int cnt[100007];
int ans[100007];
bool solve() {
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1;i <= 1e5;i++) ans[i] = cnt[i] = 0;
    for (int i = 1;i <= n;i++) {
        int x;
        cin >> x;
        cnt[x]++;
    }
    for (int i = 1;i <= 1e5;i++) {
        if (!cnt[i]) continue;
        ans[2]++;
        ans[cnt[i]]++;
        ans[cnt[i] + 1] -= 2;
    }
    for (int i = 1;i <= n;i++) ans[i] += ans[i - 1];
    for (int i = 1;i <= n;i++) ans[i] += ans[i - 1];
    for (int i = 1;i <= n;i++) cout << ans[i] << '\n';
    return true;
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int t = 1;
    cin >> t;
    while (t--) {
        if (!solve()) cout << -1 << '\n';
    }
    return 0;
}

方法二

#include <bits/stdc++.h>
using ll = long long;
using namespace std;

int cnt[100007];
int sum[100007];
bool solve() {
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1;i <= 1e5;i++) cnt[i] = 0;
    for (int i = 1;i <= n;i++) {
        int x;
        cin >> x;
        cnt[x]++;
    }
    sort(cnt + 1, cnt + 100000 + 1);
    for (int i = 1;i <= 1e5;i++) sum[i] = sum[i - 1] + cnt[i];
    for (int i = 1;i <= n;i++) {
        int idx = upper_bound(cnt + 1, cnt + 100000 + 1, i) - cnt;
        cout << sum[idx - 1] + (100000 - idx + 1) * (i - 1) << '\n';
    }
    return true;
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int t = 1;
    cin >> t;
    while (t--) {
        if (!solve()) cout << -1 << '\n';
    }
    return 0;
}

J

题解

知识点：数学。

分类讨论：

\[\begin{aligned}
a_i<0,a_j<0 &\Rightarrow \max(|a_i-a_j|,|a_i+a_j|) = a_i+a_j\\
a_i<0,a_j \geq 0 &\Rightarrow \max(|a_i-a_j|,|a_i+a_j|) = (-a_i)+a_j\\
a_i\geq 0,a_j<0 &\Rightarrow \max(|a_i-a_j|,|a_i+a_j|) = a_i+(-a_j)\\
a_i\geq 0,a_j \geq 0 &\Rightarrow \max(|a_i-a_j|,|a_i+a_j|) = (-a_i)+(-a_j)
\end{aligned}
\]

综上 \(\max(|a_i-a_j|,|a_i+a_j|) = |a_i|+|a_j|\) 。

所以

\[\begin{aligned}
\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} \max(|a_i-a_j|,|a_i+a_j|) &= \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} (|a_i|+|a_j|)\\
&=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} |a_i| + \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} |a_j|\\
&=2n\sum_{i=1}^{n} |a_i|
\end{aligned}
\]

时间复杂度 \(O(n)\)

空间复杂度 \(O(1)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>
using ll = long long;
using namespace std;

bool solve() {
    int n;
    cin >> n;
    ll ans = 0;
    for (int i = 1;i <= n;i++) {
        int x;
        cin >> x;
        ans += abs(x);
    }
    ans *= 2 * n;
    cout << ans << '\n';
    return true;
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int t = 1;
    cin >> t;
    while (t--) {
        if (!solve()) cout << -1 << '\n';
    }
    return 0;
}

K

题解

知识点：图论建模，枚举。

题目可以转化为 \(n\) 个点 \(m\) 条边的一张无向图。 \(q\) 次询问，每次选出 \(k\) 个点，求这些点构成的最大子图的边数。

直接枚举的最坏复杂度是 \(O(m\sum k)\) ，显然不可行，问题出在有些点的边可能很多。

此时我们利用平衡思想。因为边的方向不重要，所以可以给边定向，减少某些点的边数。我们考虑一条边的两个点 \(x,y\) 的度数 \(d_x,d_y\) ，当其满足 \(d_x \leq d_y\) 时，建 \(x \to y\) 的边；否则，建 \(y \to x\) 的边。这种操作能将边数平衡到 \(O(\sqrt m)\) 的复杂度。

证明：

设 \(x\) 的出边个数为 \(cnt_x\) ，则有 \(cnt_x ^2 \leq cnt_x d_x\leq \sum d_y \leq 2m\) ，因此可以证明 \(cnt_x \leq \sqrt{2m}\) 。

时间复杂度 \(O(\sqrt m \sum k)\)

空间复杂度 \(O(n+m)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>
using ll = long long;
using namespace std;

struct Graph {
    struct edge {
        int v, nxt;
    };
    int idx;
    vector<int> h;
    vector<edge> e;

    Graph(int n, int m):idx(0), h(n + 1), e(m + 1) {}
    void init(int n) {
        idx = 0;
        h.assign(n + 1, 0);
    }

    void add(int u, int v) {
        e[++idx] = edge{ v,h[u] };
        h[u] = idx;
    }
};
const int N = 2e5 + 7, M = 2e5 + 7;
Graph g(N, M);

int feat[N];
bool vis[N];
int deg[N];

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int n, m, q;
    cin >> n >> m >> q;
    vector<pair<int, int>> edge(m + 1);
    for (int i = 1;i <= m;i++) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        edge[i] = { u,v };
        deg[u]++;
        deg[v]++;
    }
    for (int i = 1;i <= m;i++) {
        auto [u, v] = edge[i];
        if (deg[u] < deg[v]) g.add(u, v);
        else g.add(v, u);
    }
    while (q--) {
        int k;
        cin >> k;
        for (int i = 1;i <= k;i++) cin >> feat[i], vis[feat[i]] = 1;
        int ans = 0;
        for (int i = 1;i <= k;i++) {
            for (int j = g.h[feat[i]];j;j = g.e[j].nxt) {
                int v = g.e[j].v;
                if (!vis[v]) continue;
                ans++;
            }
        }
        cout << ans << '\n';
        for (int i = 1;i <= k;i++) vis[feat[i]] = 0;
    }
    return 0;
}

L

题解

知识点：数论，枚举。

考虑先将 \(a_i\cdot a_j \bmod p\) 和 \(a_k \bmod p\) 的值的个数统计到 \(cnta\) 和 \(cntb\) 中。

随后 \(\displaystyle ans_x = \sum_{(i+j) \mod p = x} cnta_i \cdot cntb_j\) ，但此时我们没考虑 \(i = k\) 或 \(j = k\) 的情况，我们只要单独把 \((a_i\cdot a_j + a_i) \bmod p\) 的答案减去 \(2\) 即可，代表减掉 \((i,j,i),(j,i,i)\) 两组。

时间复杂度 \(O(n^2 + p^2)\)

空间复杂度 \(O(n+p)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>
using ll = long long;
using namespace std;

int a[5007];
int cnta[5007], cntb[5007];
ll ans[5007];
int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int n, p;
    cin >> n >> p;
    for (int i = 1;i <= n;i++) cin >> a[i];
    for (int i = 1;i <= n;i++) cnta[a[i] % p]++;

    for (int i = 1;i <= n;i++)
        for (int j = 1;j <= n;j++)
            if (i != j) cntb[1LL * a[i] * a[j] % p]++;

    for (int i = 0;i < p;i++)
        for (int j = 0;j < p;j++)
            ans[(i + j) % p] += 1LL * cnta[i] * cntb[j];
    for (int i = 1;i <= n;i++)
        for (int j = 1;j <= n;j++)
            if (i != j) ans[(1LL * a[i] * a[j] + a[i]) % p] -= 2;
    for (int i = 0;i < p;i++) cout << ans[i] << " \n"[i == p - 1];
    return 0;
}