【2021 ICPC Asia Jinan 区域赛】 C Optimal Strategy推公式-组合数-逆元快速幂
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题目
题意
有n个物品在他们面前,编号从1自n.两人轮流移走物品。在移动中,玩家选择未被拿走的物品并将其拿走。当所有物品被拿走时,游戏就结束了。任何一个玩家的目标是最大化他们拿走的物品的价值之和。
二人都足够聪明,有多少可能的游戏过程?结果取模998244353.
如果存在一些整数相等,但是下标不一样,算为两种方式。
题解
此题可以抽象为有序序列,第一个位置第一次被拿走,第二个位置第二次被拿走,后者亦然,求有多少种符合条件的序列
1. 最大值若为单数个,第一个人一定拿走,对于种数并没有贡献
2. 最大值若为双数个,第一个人拿走一个,后面人一定也要拿走一个
3. 每次拿完,都可以抽象为前两种。
以下为用高中排列组合思考问题:
AC代码
组合数用逆元求,如果按正常阶乘算,若 被除数取模过,那么结果也就不一样了
// #include<bits/stdc++.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <string>
#include <cstring>
#include <vector> using namespace std; typedef long long LL;
typedef pair<int,int> PII; const int N = 1e6+10;
const LL mod = 998244353;
int st[N];
LL fact[N], infact[N]; LL qmi(LL x, LL k)//快速幂
{
LL res = 1;
while(k)
{
if(k&1)
res = (LL)res * x %mod;
k >>= 1;
x = (LL)x * x % mod;
}
return res;
}
void init(int n)
{
fact[0] = 1, infact[0] = 1;
for(int i = 1; i <= n; i ++)
{
fact[i] = fact[i-1]*i%mod;//n的阶乘
infact[i] = infact[i-1]*qmi((LL)i, mod-2)%mod;//逆元
}
return;
}
LL zuhe(int n, int m)//求组合数
{
return fact[n] * infact[n-m] %mod* infact[m]%mod;
}
int main(){
vector<PII> a;
int n;
cin >> n;
init(n);
int idx = 0;
for(int i = 0; i < N; i ++) st[i] = -1;
for(int i = 0; i < n; i ++)
{
int x;
cin >> x;
if(st[x]>=0) a[st[x]].second ++;//记录每个数出现了几次
else
{
a.push_back({x, 1});
st[x] = idx ++;
}
}
sort(a.begin(), a.end());
int sum = 0;
LL res = 1;
for(int i = a.end()-a.begin()-1; i >= 0; i --)sum+=a[i].second; //数学公式实现过程
for(int i = a.end()-a.begin()-1; i >= 0; i --)
{
sum -= a[i].second;
int c = a[i].second;
if(c >= 2)
res = res * fact[c]%mod * zuhe((sum + c/2), c/2)%mod; }
cout << res <<endl; return 0;
}
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