Codeforces 464D-World of Darkraft - 2

题意

有 \(n\) 个怪兽，\(k\) 种装备。最开始每个装备的等级都是 1 。每打完一个怪兽就会随机掉落一个装备。

随机的方式是，先等概率随机一个装备种类，设当前这个装备的等级为 \(t\) ，那么再在 \([1,t+1]\) 中随机一个装备等级。

我们会在这两个装备中选择等级高的那个获得，另一个卖掉，得到等级数量的金币。

求最后金币的期望值。需要误差在 \(10^{-9}\) 以内。

\(n\le 10^5,k\le 100\) 。

分析

显然 \(k\) 个装备是等价的，所以直接算一个的情况就行了。

我们要求的是总金币数量的期望，分成每次操作完之后的得到金币期望数量和来计算。

可以发现一个性质：若当前装备的等级为 \(x\) ，那么一次操作完后期望得到的金币数量为 \(\frac{x}{x+1}+\frac x 2\) 。

现在问题就变成计算每次操作前的装备等级 \(x\) 的期望和 \(\frac x {x+1}\) 的期望。

很容易用一个 \(O(n^2)\) 的dp来计算进行完前 \(i\) 次操作后装备等级为 \(j\) 的概率，然后就可以得到上面两个东西的期望值，即可算出答案。

显然会超时。然后就不会了。

注意到，有一个误差的阈值，那么不如看看能不能减少一些情况。可以发现，当装备等级为 \(x\) 的时候，升级的概率为 \(\frac 1 {k(x+1)}\) ，所以升级的期望步数为 \(k(x+1)\) ，因此升级到 \(x\) 级的期望步数 \(f(x)\sim kx^2\) 。

也就是说，只需要计算大概 \(\sqrt n\) 左右的等级即可！

复杂度为 \(O(n\sqrt n)\) ，空间用滚动数组优化。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef double lb;
const int maxn=1e5+1;
const int thel=620,maxl=thel+1;
int n,k,m;
lb ok,mk,h[maxl],d[maxn],o[maxn],ans=0;
lb yp[maxl],y[maxl];
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("test.in","r",stdin);
#endif
	cin>>n>>k;
	m=min(n,thel);
	ok=1.L/k,mk=1.L-ok;
	for (int i=1;i<=thel;++i) yp[i]=(lb)i/(i+1),y[i]=1.L/i;
	h[1]=1;
	d[0]=1,o[0]=0.5;
	for (int i=1;i<n;++i) {
		for (int j=m;j;--j) (h[j]*=ok*yp[j]+mk)+=h[j-1]*y[j]*ok;
		for (int j=1;j<=m;++j) d[i]+=h[j]*j,o[i]+=h[j]*yp[j];
	}
	for (int i=1;i<=n;++i) ans+=d[i-1]/2+o[i-1];
	cout<<fixed<<setprecision(12)<<ans<<endl;
	return 0;
}