2018牛客网暑假ACM多校训练赛（第十场）H Rikka with Ants 类欧几里德算法

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题意

　　有两只蚂蚁在一个二维平面上走。一开始，他们都在点 $(1,0)$ 的位置。

　　Rikka 布置了三条规定：

　　1.　第一只蚂蚁不能走过直线 $y=\cfrac{a}{b} x$ 。

　　2.　第二只蚂蚁不能走过直线 $y=\cfrac{c}{d} y$ 。

　　3.　所有蚂蚁都不能走过直线 $y=0$ 。

　　每一只蚂蚁的行走方式都是一样的，即：如果能往上走，那么向上；否则向右。

　　问这两只蚂蚁走过的路径上有多少个整点是重合的，如果答案为 $\infty$ ，输出 $-1$ 。

　　多组数据，$T\leq 10^5,0\leq a,b,c,d \leq 10^9$ 。

题解

upd(2018-08-28): 无意中发现我之前那个 上界 的取值写错了，40多个阅读居然没人指出QAQ……

　　首先，判掉无穷的情况：即斜率相同。

　　然后，强制 $y=\cfrac ab x$ 的斜率比 $y=\cfrac cd x$ 大。（即，如果小了就交换）

　　记 $f(x)=y_1=\cfrac ab x,g(x)=y_2=\cfrac cd x$ ，

　　因此，对于一个点 $x$ ，必然有 $y_1>y_2$ 。于是，重合的整点中，横坐标为 $x$ 的点的 $y$ 坐标必然 $\leq y_2$ 。又由于 $f(x-1)>g(x-1)$ ，所以，横坐标为 $x$ 的重合的整点的 $y$ 坐标必然 $\geq\left\lfloor \cfrac{a(x-1)}{b} \right\rfloor$ 。

　　于是，答案就是：

$$\begin{eqnarray*}&\sum_{x=0}^{\infty} \max\left(0,\left\lfloor\cfrac{c(x+1)}{d}\right\rfloor-\left\lfloor\cfrac{ax-b}{b}\right\rfloor\right)\\=&\sum_{x=0}^{\infty} \max\left(0,\left\lfloor\cfrac{c(x+1)}{d}\right\rfloor-\left\lfloor\cfrac{ax}{b}\right\rfloor+1\right)\end{eqnarray*}$$

　　我们考虑取一个上界，来从公式中拿掉那个 $\max$ 。

　　我们考虑到：

　　如果我们取尽量大的 $i$ ，使得

$$\cfrac {ai}{b} \leq \cfrac{c(i+1)}{d} +1$$

　　则，对于 $x>i$，显然有：

$$\left\lfloor\cfrac{c(x+1)}{d}\right\rfloor-\left\lfloor\cfrac{ax}{b}\right\rfloor+1\leq 0$$

　　相反，对于 $x<i$ ，有：

$$\left\lfloor\cfrac{c(x+1)}{d}\right\rfloor-\left\lfloor\cfrac{ax}{b}\right\rfloor+1\geq 0$$

　　这两个容易证明。

　　那么我们就可以解得上界为 $i=\left\lfloor \cfrac{(c+d)b}{ad-bc}\right\rfloor$ ，于是，我们可以把原式写成：

$$\begin{eqnarray*}&&\sum_{x=0}^{\infty} \max\left(0,\left\lfloor\cfrac{c(x+1)}{d}\right\rfloor-\left\lfloor\cfrac{ax-b}{b}\right\rfloor\right)\\&=&\sum_{x=0}^{\infty} \max\left(0,\left\lfloor\cfrac{c(x+1)}{d}\right\rfloor-\left\lfloor\cfrac{ax}{b}\right\rfloor+1\right)\\&=&\sum_{x=0}^{i}\left(\left\lfloor\cfrac{c(x+1)}{d}\right\rfloor-\left\lfloor\cfrac{ax}{b}\right\rfloor+1\right)\\&=&\sum_{x=0}^{i}\left\lfloor\cfrac{c(x+1)}{d}\right\rfloor-\sum_{x=0}^{i}\left\lfloor\cfrac{ax}{b}\right\rfloor\ +i+1\end{eqnarray*}$$

　　上面前两个 $\sum$ 是裸的类欧，直接拖一份写就可以了。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=998244353;
typedef long long LL;
typedef __int128 LLL;
LL f(LL a,LL b,LL c,LL n){
	if (a==0)
		return (b/c)%mod*((n+1)%mod)%mod;
	if (a>=c||b>=c)
		return ((LL)((LLL)a/c%mod*(n*(n+1)/2%mod))%mod
					+(b/c)*(n+1)%mod+f(a%c,b%c,c,n))%mod;
	LL tmp=((LLL)a*n+b)/c;
	return (tmp%mod*n%mod-f(c,c-b-1,a,tmp-1)+mod)%mod;
}
LL T,a,b,c,d;
void write(LLL x){
	if (x<0){
		putchar('-');
		x=-x;
	}
	if (x>9)
		write(x/10);
	putchar('0'+x%10);
}
LL calc(LL x){
	return (f(c,c,d,x)-f(a,0,b,x)+x+1+mod)%mod;
}
int main(){
	scanf("%lld",&T);
	while (T--){
		scanf("%lld%lld%lld%lld",&a,&b,&c,&d);
		if (a*d==b*c){
			puts("-1");
			continue;
		}
		if (a*d<b*c)
			swap(a,c),swap(b,d);
		printf("%lld\n",calc((c+d)*b/(d*a-c*b)));
	}
	return 0;
}