B+树索引结构解析

一、二分查找法

　　二分查找法（binary search）也成为折半查找法。用来查找一组有序的记录组中的某一记录。

　　基本思想是：将记录按有序化（递增或递减）排列，在查找过程中采用跳跃式方法查找，即先以有序数列的中点位置为比较对象，如果要找的元素值小于该中点元素，则将待查询列缩小为左半部分，否则为右半部分。通过一次比较，将查询区间缩小一半。

　　如有5,10,19,21,31,37,42,48,50,52这10个数，要查48这个数，其查找过程：

　　

　　从图看，用了3次就找到了48这个数。如果是顺序查找，则需要8次，因此二分查找法的效率比顺序查找法要好（平均）。但是如果要查5这个数，顺序查只需1次，而二分查找需要4次。

　　对于上面的10个数来说，平均查找次数为（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）/10=5.5次。而二分查找为（4+3+2+4+3+1+4+3+2+3）/10=2.9次。

　　在最坏的情况下，顺序查找的次数为10，而二分查找法为4

二、二叉查找树和平衡二叉树

　　B+树是通过二叉查找树，再由平衡二叉树，B树演化而来。

　　二叉查找树中定义：左子树的键值总是小于根的键值，右子树的键值总是大于根的键值。因此可以通过中序遍历得到键值的排序输出

　　若想最大性能的构造一颗二叉查找树，需要这颗二叉查找树是平衡，从而引出了新的定义-----平衡二叉树，或称为AVL树。

　　平衡二叉树定义：首先复合二叉查找树的定义，其次必须满足任何节点的两个子树的高度最大差为1.

　　平衡二叉树的查询速度很快，但是维护一颗平衡二叉树的代价很大，通常来说，需要1次或多次左旋和右旋来得到插入或更新后树的平衡性。如下所示：

　　

　　

三、B+树

　　B+树和二叉树、平衡二叉树一样都是经典的数据结构。

　　B+树由B树和索引顺序访问方法（ISAM，这就是MyISAM引擎最初参考的数据结构）演化而来，实际中已经没有使用B树的情况了。

　　B+树是为磁盘或其他直接存储辅助设备设计的一种平衡查找时。

　　B+树中，所有记录节点都是按键值的大小顺序存放在同一层的叶子节点上，由各叶子节点指针进行连接。

　　如下：其高度为2，每页存放4条记录，扇出（fan out）为5。所有记录都在叶子节点上，并且是顺序存放的。

四、B+树的插入操作

　　B+树的插入必须保证插入后叶子节点中的记录依然排序，同时需要考虑插入到B+树的三种情况，每种情况都会导致不同的插入算法。如下所示：

　　1、如下图这颗B+树，若用户插入28这个值，发现当前叶子页leafPage和IndexPage索引页都没有满，直接插入就行。

　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图（1）

　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图（2）

　　2、从上图接着插入70这个键值，这时原来的leafPage已经满了，但是IndexPage还没有。这时插入leafPage后的情况为50、55、60、65、70，并根据中间值60来拆分叶子节点，可得下图。

　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图（3）

　　　为了保持平衡对于新插入的键值可能需要做大量的拆分页（split）操作。因为B+树结构主要用于磁盘，也拆分意味着磁盘操作，所以应该在可能的情况下尽量减小页的拆分操作。因此B+树会提出平衡二叉树的旋转（Rotation）功能。

　　旋转发生在leafPage已满，但是其左右兄弟节点没有满的情况下。这时B+树不会急于去拆分页操作，而是将记录移到所在页的兄弟页节点上，通常情况下，左兄弟会被首先检查用来做旋转操作。若如此，插入70应该左旋为：

　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图（4）

　　3、最后插入95，这时复合第三种情况，即leafPage和IndexPage都满了，这时需要做两次拆分

　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　图（5）

五、B+树的删除操作

　　B+树使用填充因子（fill factor）来控制树的删除变化，50%是填充因子可设的最小值。

　　B+树的删除操作同样必须保证删除后叶子节点中的记录依然排序，同插入一样，B+树删除操作同样需要考虑以下三种情况：

　　

　　1、根据图（5）的B+树来进行删除。首先删除键值为70的记录：

　　　　

　　接着删除键值为25的记录，但是该值还是IndexPage中的值，因此在删除LeafPage中的25后，还应将25的右兄弟节点28更新到PageIndex中，如图：

　　

　　最后删除60这个键值。删除LeafPage中键值为60的记录后，Fill Factor小于50%，这时需要做合并操作，同样，在删除IndexPage中相关记录后需要做IndexPage的合并操作。