Codeforces Round #239 (Div. 1)C， 407C

题目链接：http://codeforces.com/contest/407/problem/C

题目大意：给一个长度为n的数列，m次操作，每次操作由（li, ri, ki）描述，表示在数列li到ri这段数字上分别加上C(j-li+ki, ki)，要求输出最后得到的序列。（% 1e9+7）

数据范围：1<=n, m<=10^5, a[i]<=10^9

思路：区间上加一个函数，在线求和，这种题目之前遇到过。记得是在区间上加kd(l<=k<=r)，解法是线段树处理，由于等差+等差=等差，所以满足线段树lazy所要求的一致性和可计算性。在上题中我发现他所加的值是杨辉三角的某一列，通过观察发现是一个k阶等差数列。因此我便用了上述思想解决。然而绞尽脑汁思考一天并没有想到可行的标记方法，不能做到不同阶等差数列的统一。因此看了官方题解，竟然是离线做法，方法如下：

先考虑简单情况，k=0时，问题演变成一个传统的问题：区间加1，离线询问各值。在l处+1，r + 1处-1，求前缀和即可。我们称1，-1的操作为原态，如果对原态做一次前缀和，我们便轻松得到了在各区间加上一个数字之后的结果，继续拓展，对这个区间再取前缀和，便得到了各区间加上一个一阶等差数列之后的结果，以此类推，对原态数列做k次取前缀和的操作，便得到了各区间加上首项为1的k - 1阶等差数列的结果，这里的前提是在r + 1的位置原态时并不是-1，应当是一个-比较大的数字（仔细考虑）。

回归原题，如果原题中的所有操作k都相同，我们就可以对于每个操作在初始全部为0的数列中“搭好原态”，也就是在l处+1，在r + 1处减一个什么值，然后再对原态序列做k + 1次取前缀和操作，加上题目中给的序列，便得到了答案。然而题目中的k不尽相同，如令K=Max（ki）,我们最多做K次迭代前缀，在中途“不失时机”地插入原态，让他们“搭顺风车”，达到目标，不失为一种不错的策略。

上述思路大体描述完，对于实现官方给了一个很值得借鉴的技巧。由于“搭顺风车”的想法可想不可写，于是我们把原全为0的序列拉开变成K层这种初始序列，每一层代表了某阶等差数列的原态，最终我们逐层递推更新既清晰有简单。代码中是k阶等差把原态插入k + 1层，最后从K倒推到0，经过迭代，a[0][i]数列加上题目给的数字便是答案。

最后一个问题就是上述原态中r + 1中究竟该减多少的问题，其实就是各阶等差数列的前r-l+r项和，在杨辉三角里很容易发现是通过有规律的组合数表示的，这样对于每次操作，把k + 1层的l处+1, 前0 - k + 1层的r + 1处减掉相应的组合数即可。

 #include <cstdio>
 #include <cstdlib>
 #include <cstring>
 #include <cmath>
 #include <ctime>
 #include <cctype>
 #include <climits>
 #include <string>
 #include <algorithm>
 using namespace std;
 typedef long long LL;

 const int MaxN = 1e5, MaxK = , Pt = 1e9 + ;
 int n, m;
 LL orig[MaxN + ], a[MaxK + ][MaxN + ], c[MaxN +  * MaxK][MaxK + ];

 void Init()
 {
     scanf("%d%d", &n, &m);
     for (int i = ; i <= n; i++) scanf("%I64d", &orig[i]);
     c[][] = ;
     for (int i = ; i <= n +  * MaxK; i++)
     {
         c[i][] = ;
         for (int j = ; j <= MaxK; j++)
             c[i][j] = (c[i - ][j] + c[i - ][j - ]) % Pt;
     }
 }

 void Solve()
 {
     int l, r;
     int K = , k;
     for (int i = ; i <= m; i++)
     {
         scanf("%d%d%d", &l, &r, &k);
         K = max(K, k);
         a[k + ][l] = (a[k + ][l] + ) % Pt;
         for (int j = ; j <= k + ; j++)
             a[j][r + ] = (a[j][r + ] - c[r - l + k - j + ][k - j + ] + Pt) % Pt;
     }
     for (int i = K; i >= ; i--)
     {
         LL s = ;
         for (int j = ; j <= n; j++)
         {
             s = (s + a[i + ][j]) % Pt;
             a[i][j] = (s + a[i][j]) % Pt;
         }
     }
     for (int i = ; i <= n; i++) a[][i] = (a[][i] + orig[i]) % Pt;
     for (int i = ; i <= n; i++) printf("%I64d ", a[][i]);
 }

 int main()
 {
     Init();
     Solve();
 }

总结：

1.高阶等差数列可由多次前缀和迭代定义，这样就更贴近了阶的定义（迭代的过程）。用线性的递推代替了求通项等等麻烦的事情。

2.一维操作过于繁琐时可考虑把一维的拉开变成多维，逐层处理，最后叠加。可以让代码清晰简单。