树的Prufer 编码和最小生成树计数

 

Prufer数列

　　Prufer数列是无根树的一种数列。在组合数学中，Prufer数列由有一个对于顶点标过号的树转化来的数列，点数为n的树转化来的Prufer数列长度为n-2。它可以通过简单的迭代方法计算出来。它由Heinz Prufer于1918年在证明cayley定理时首次提出。

目录

1将树转化成Prufer数列的方法

2将Prufer数列转化成树的方法

 

 

将树转化成Prufer数列的方法

　　一种生成Prufer序列的方法是迭代删点，直到原图仅剩两个点。对于一棵顶点已经经过编号的树T，顶点的编号为{1,2,...,n}，在第i步时，移去所有叶子节点（度为1的顶点）中标号最小的顶点和相连的边，并把与它相邻的点的编号加入Prufer序列中，重复以上步骤直到原图仅剩2个顶点。

例子

Prufer数列

　　以上边的树为例子，首先在所有叶子节点中编号最小的点是2，和它相邻的点的编号是3，将3加入序列并删除编号为2的点。接下来删除的点是4，5被加入序列，然后删除5，1被加入序列，1被删除，3被加入序列，此时原图仅剩两个点（即3和6），Prufer序列构建完成，为{3,5,1,3}

2将Prufer数列转化成树的方法

　　设{a1,a2,..an-2}为一棵有n个节点的树的Prufer序列，另建一个集合G含有元素{1..n}，找出集合中最小的未在Prufer序列中出现过的数，将该点与Prufer序列中首项连一条边，并将该点和Prufer序列首项删除，重复操作n-2次，将集合中剩余的两个点之间连边即可。

例子

　　仍为上面的树，Prufer序列为{3,5,1,3}，开始时G={1,2,3,4,5,6}，未出现的编号最小的点是2，将2和3连边，并删去Prufer序列首项和G中的2。接下来连的边为{4,5},{1,5},{1,3},此时集合G中仅剩3和6，在3和6之间连边，原树恢复。

1. 一棵标号树的Pufer编码规则如下：找到标号最小的叶子节点，输出与它相邻的节点到prufer 序列, 将该叶子节点删去，反复操作，直至剩余2个节点。

2. 由Pufer编码生成树：任何一个prufer 序列可以唯一对应到一棵有标号的树，首先标记所有节点为未删除 依次扫描prufer 序列中的数，比如当前扫描到第k个数u，说明有一个叶子节点连到u，并在当前操作中被删除，找一个标号最小的未被标记为删除的且在prufer 序列第k个位置后未出现过的节点v，在u,v间连边并将v删除，反复操作，最后剩两个节点未被标记为删除，在它们之间连边，这样得到的一个图含有n-1条边则是一棵树

3. 一棵树N个结点，其Profer序列有N-2个位置，因此可以在这N-2个位置里面任何的填充1～N之间的数形成一个prufer序列，且一个prufer序列唯一的对应一颗生成树，于是完全图的最小生成树的数目为N^(N-2)

推荐做题：pku2567，pku2568